1. Planteamos el problema: Dadas las funciones $$f(x) = -x^2 + 3$$ $$g(x) = \sqrt{3x - 5}$$ Se pide hallar las funciones \( (f \cdot g)(x) \) y \( (f - g)(x) \), y sus dominios. 2. Recordemos que: - La función producto \( (f \cdot g)(x) = f(x) \times g(x) \). - La función diferencia \( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \). - El dominio de una función compuesta o combinada es la intersección de los dominios de las funciones involucradas, considerando restricciones como raíces cuadradas que requieren que el radicando sea \( \geq 0 \). 3. Hallamos \( (f \cdot g)(x) \): $$ (f \cdot g)(x) = f(x) \times g(x) = (-x^2 + 3) \times \sqrt{3x - 5} $$ 4. Hallamos \( (f - g)(x) \): $$ (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (-x^2 + 3) - \sqrt{3x - 5} $$ 5. Determinamos los dominios: - Para \( f(x) = -x^2 + 3 \), el dominio es todo \( \mathbb{R} \) porque es un polinomio. - Para \( g(x) = \sqrt{3x - 5} \), el radicando debe ser \( \geq 0 \): $$ 3x - 5 \geq 0 \implies 3x \geq 5 \implies x \geq \frac{5}{3} $$ - Por lo tanto, el dominio de \( g \) es \( \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) \). 6. El dominio de \( (f \cdot g)(x) \) y \( (f - g)(x) \) es la intersección de los dominios de \( f \) y \( g \), que es: $$ \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) $$ 7. Resumen final: $$ (f \cdot g)(x) = (-x^2 + 3) \sqrt{3x - 5} $$ Dominio de \( f \cdot g \): \( \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) \) $$ (f - g)(x) = -x^2 + 3 - \sqrt{3x - 5} $$ Dominio de \( f - g \): \( \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) \)