1. El problema es resolver la desigualdad $f(x) > 0$ para la función definida por partes: $$f(x) = \begin{cases} 5x - 2, & x \leq 2 \\ 8, & 2 < x \leq 5 \\ \frac{x}{3} + 4x + 6, & 6 < x \leq 7 \end{cases}$$ 2. Para resolver $f(x) > 0$, analizamos cada caso por separado porque la función está definida por partes. 3. Caso 1: $x \leq 2$, $f(x) = 5x - 2$. Queremos $5x - 2 > 0$. $$5x - 2 > 0 \implies 5x > 2 \implies x > \frac{2}{5} = 0.4$$ Pero en este caso $x \leq 2$, entonces la solución para este tramo es $0.4 < x \leq 2$. 4. Caso 2: $2 < x \leq 5$, $f(x) = 8$. Como $8 > 0$ siempre, para este intervalo la solución es todo $x$ tal que $2 < x \leq 5$. 5. Caso 3: $6 < x \leq 7$, $f(x) = \frac{x}{3} + 4x + 6$. Queremos: $$\frac{x}{3} + 4x + 6 > 0$$ Simplificamos: $$\frac{x}{3} + 4x = \frac{x}{3} + \frac{12x}{3} = \frac{13x}{3}$$ Entonces: $$\frac{13x}{3} + 6 > 0 \implies \frac{13x}{3} > -6 \implies 13x > -18 \implies x > -\frac{18}{13} \approx -1.38$$ Dado que $6 < x \leq 7$, y $x > -1.38$ es siempre cierto en este intervalo, la solución para este tramo es $6 < x \leq 7$. 6. Finalmente, unimos las soluciones de los tres casos: $$0.4 < x \leq 2 \quad \cup \quad 2 < x \leq 5 \quad \cup \quad 6 < x \leq 7$$ 7. Notamos que no hay definición para $5 < x \leq 6$, por lo que no consideramos ese intervalo. Respuesta final: $$\boxed{(0.4, 5] \cup (6, 7]}$$