1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una función logarítmica $$f(x) = \log_a(x + d) + e$$ con las condiciones: - Asíntota vertical en $$x + 4 = 0$$ - La función es creciente y negativa para $$-4 < x < 12$$ - Pasa por el punto $$(-3, -2)$$ Se pide: a) Ecuación de la función. b) Dominio y conjunto imagen. c) Cero de la función. d) Intersección con el eje de las ordenadas. e) Monotonía. f) Esbozo del gráfico. 2. **Ecuación de la asíntota vertical:** La asíntota vertical ocurre donde el argumento del logaritmo es cero: $$x + d = 0 \Rightarrow x = -d$$ Dado que la asíntota es $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$, entonces: $$-d = -4 \Rightarrow d = 4$$ 3. **Forma de la función:** La función es: $$f(x) = \log_a(x + 4) + e$$ 4. **Determinar la base $$a$$ y el desplazamiento vertical $$e$$ usando el punto $$(-3, -2)$$:** Sustituimos $$x = -3$$ y $$f(x) = -2$$: $$-2 = \log_a(-3 + 4) + e = \log_a(1) + e$$ Sabemos que $$\log_a(1) = 0$$ para cualquier base $$a > 0, a \neq 1$$, entonces: $$-2 = 0 + e \Rightarrow e = -2$$ 5. **Determinar la base $$a$$ usando la condición de crecimiento y negatividad:** La función es creciente y negativa para $$-4 < x < 12$$. - La función es creciente si $$a > 1$$. - Para $$x = 12$$, la función debe ser negativa: $$f(12) = \log_a(12 + 4) - 2 = \log_a(16) - 2 < 0$$ $$\Rightarrow \log_a(16) < 2$$ Recordando que $$\log_a(16) = \frac{\ln 16}{\ln a}$$, y que $$a > 1$$, para que $$\log_a(16) < 2$$, la base $$a$$ debe ser tal que: $$\log_a(16) < 2 \Rightarrow 16 < a^2$$ Por ejemplo, si $$a = 5$$, $$5^2 = 25 > 16$$, entonces $$\log_5(16) < 2$$. 6. **Elegimos $$a = 5$$ para cumplir las condiciones.** 7. **Ecuación final:** $$f(x) = \log_5(x + 4) - 2$$ 8. **Dominio:** El argumento del logaritmo debe ser positivo: $$x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$$ 9. **Conjunto imagen:** Como $$\log_5(x + 4)$$ toma todos los valores reales, y $$-2$$ es un desplazamiento vertical, el conjunto imagen es: $$\mathbb{R}$$ 10. **Cero de la función:** Resolver $$f(x) = 0$$: $$0 = \log_5(x + 4) - 2 \Rightarrow \log_5(x + 4) = 2$$ $$x + 4 = 5^2 = 25 \Rightarrow x = 21$$ 11. **Intersección con el eje de las ordenadas:** Para $$x = 0$$: $$f(0) = \log_5(0 + 4) - 2 = \log_5(4) - 2$$ 12. **Monotonía:** La función es creciente porque $$a = 5 > 1$$. 13. **Esbozo del gráfico:** - Asíntota vertical en $$x = -4$$. - Pasa por $$(-3, -2)$$. - Cero en $$x = 21$$. - Intersección con eje y en $$\left(0, \log_5(4) - 2\right)$$. - Creciente y negativa entre $$-4 < x < 12$$. **Respuesta final:** $$f(x) = \log_5(x + 4) - 2$$ ---