1. Planteamos el problema: Graficar la función $$f(x) = (x-5)^2 + 3$$, determinar su dominio, rango, y los intervalos donde crece y decrece. 2. Dominio: La función es un polinomio cuadrático desplazado, por lo que su dominio es todo $$\mathbb{R}$$, es decir, $$(-\infty, \infty)$$. 3. Rango: Como $$f(x) = (x-5)^2 + 3$$ es un cuadrado más 3, el valor mínimo ocurre cuando $$x=5$$, y $$f(5) = 3$$. Por lo tanto, el rango es $$[3, \infty)$$. 4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: - Derivamos la función: $$f'(x) = 2(x-5)$$. - La función decrece cuando $$f'(x) < 0$$, es decir, cuando $$x < 5$$. - La función crece cuando $$f'(x) > 0$$, es decir, cuando $$x > 5$$. 5. Resumen: - Dominio: $$(-\infty, \infty)$$ - Rango: $$[3, \infty)$$ - Crece en $$ (5, \infty) $$ - Decrece en $$ (-\infty, 5) $$ 6. La gráfica es una parábola con vértice en $$(5,3)$$ que abre hacia arriba.