1. Determina su mínima expresión de $$\frac{x+1}{x^2-4} \times \frac{x^2+5x+6}{4x+12} \div \frac{x+1}{4x-8}$$ Paso 1: Factoriza todos los polinomios donde se pueda: - $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$ - $$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$$ - $$4x+12 = 4(x+3)$$ - $$4x-8 = 4(x-2)$$ Paso 2: Reescribe la expresión usando factorizaciones: $$\frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \times \frac{(x+2)(x+3)}{4(x+3)} \div \frac{x+1}{4(x-2)}$$ Paso 3: Cambia la división por multiplicación del recíproco: $$\frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \times \frac{(x+2)(x+3)}{4(x+3)} \times \frac{4(x-2)}{x+1}$$ Paso 4: Simplifica términos que se cancelan: - $$x+1$$ en numerador y denominador - $$x+2$$ en numerador y denominador - $$x+3$$ en numerador y denominador - $$4$$ y $$x-2$$ también se simplifican Resultado: $$1$$ --- 2. Realiza las operaciones: $$\frac{2x^2+7x+6}{x^2+4x+4} \times \frac{2x+3}{x^3+8} \div \frac{x}{x^2-2x+1}$$ Paso 1: Factoriza polinomios: - $$2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$$ - $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$ - $$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$$ (Suma de cubos) - $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ Paso 2: Reescribe con factorización: $$\frac{(2x+3)(x+2)}{(x+2)^2} \times \frac{2x+3}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \div \frac{x}{(x-1)^2}$$ Paso 3: Cambia división a multiplicación del recíproco: $$\frac{(2x+3)(x+2)}{(x+2)^2} \times \frac{2x+3}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \times \frac{(x-1)^2}{x}$$ Paso 4: Simplifica: - Cancela un $$x+2$$ de numerador y denominador El resultado es: $$\frac{(2x+3)^2 (x-1)^2}{x (x+2) (x^2 - 2x + 4)}$$ --- 3. Opera las siguientes fracciones: $$\frac{x+1}{x^2 + 7x} - \frac{5}{x^2 + 7} - \frac{x}{x^3 + 7x^2}$$ Paso 1: Factoriza denominadores: - $$x^2 + 7x = x(x+7)$$ - $$x^2 + 7$$ no se puede factorizar más - $$x^3 + 7x^2 = x^2(x+7)$$ Paso 2: Encuentra el mínimo común denominador (MCD): $$x^2(x+7)(x^2 + 7)$$ Paso 3: Expresa cada fracción con el MCD: - $$\frac{x+1}{x(x+7)} = \frac{(x+1) x (x^2 + 7)}{x^2 (x+7) (x^2 + 7)}$$ - $$\frac{5}{x^2 + 7} = \frac{5 x^2 (x+7)}{x^2 (x+7) (x^2 + 7)}$$ - $$\frac{x}{x^2 (x+7)} = \frac{x (x^2 + 7)}{x^2 (x+7) (x^2 + 7)}$$ Paso 4: Opera sumas y restas en numerador: $$ (x+1) x (x^2 + 7) - 5 x^2 (x+7) - x (x^2 + 7) $$ Simplifica términos similares: $$x(x+1)(x^2 + 7) - x(x^2 + 7) = x(x^2 + 7)((x+1) - 1) = x(x^2 + 7) x = x^2(x^2 + 7)$$ Entonces queda: $$x^2(x^2 + 7) - 5x^2 (x+7) = x^2[(x^2 +7) - 5(x+7)] = x^2(x^2 +7 - 5x -35) = x^2(x^2 - 5x - 28)$$ Paso 5: Factoriza $x^2 - 5x - 28$: $$x^2 - 5x - 28 = (x - 7)(x + 4)$$ Paso 6: La expresión completa queda: $$\frac{x^2 (x - 7)(x + 4)}{x^2 (x + 7)(x^2 + 7)} = \frac{(x - 7)(x + 4)}{(x + 7)(x^2 + 7)}$$ --- 4. Determina simplificación de: $$\left( \frac{2}{x} - \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x} \right) \div \left( \frac{2+x}{2 - x} - \frac{2 - x}{2 + x} \right)$$ Paso 1: Considera denominadores y busca común denominador en cada conjunto. Para el numerador: Paso 2: Usa común denominador $$x(2+x)(2-x)$$ Escribe cada término con este denominador: $$\frac{2(2+x)(2-x)}{x(2+x)(2-x)} - \frac{x(2-x)}{x(2+x)(2-x)} + \frac{x(2+x)}{x(2+x)(2-x)}$$ Paso 3: Expande numeradores: - $$2(2+x)(2-x) = 2(4 - x^2) = 8 - 2x^2$$ - $$-x(2-x) = -2x + x^2$$ - $$x(2+x) = 2x + x^2$$ Paso 4: Suma los numeradores: $$(8 - 2x^2) + (-2x + x^2) + (2x + x^2) = 8 - 2x^2 + x^2 + x^2 - 2x + 2x = 8$$ Numerador simplificado: $$\frac{8}{x(2+x)(2-x)}$$ Para el denominador: Paso 5: Expresa con denominadores iguales $$(2 - x)(2 + x) = 4 - x^2$$ Escribe cada fracción con denominador $$4 - x^2$$: - Primer término es $$\frac{2+x}{2 - x} = \frac{(2+x)^2}{(2-x)(2+x)} = \frac{(2+x)^2}{4 - x^2}$$ - Segundo término es $$\frac{2-x}{2 + x} = \frac{(2-x)^2}{4 - x^2}$$ Paso 6: Resta numeradores: $$(2+x)^2 - (2-x)^2 = [(2+x) - (2-x)] \times [(2+x) + (2-x)] = (2x)(4) = 8x$$ Paso 7: Denominador queda: $$\frac{8x}{4 - x^2}$$ Paso 8: División entera: $$\frac{\frac{8}{x(2+x)(2-x)}}{\frac{8x}{4 - x^2}} = \frac{8}{x(2+x)(2-x)} \times \frac{4 - x^2}{8x}$$ Como $$4 - x^2 = (2+x)(2-x)$$, simplificamos: $$\frac{8}{x(2+x)(2-x)} \times \frac{(2+x)(2-x)}{8x} = \frac{8}{x} \times \frac{1}{8x} = \frac{1}{x^2}$$ --- Respuesta final: 1. $$1$$ 2. $$\frac{(2x+3)^2 (x-1)^2}{x (x+2) (x^2 - 2x + 4)}$$ 3. $$\frac{(x - 7)(x + 4)}{(x + 7)(x^2 + 7)}$$ 4. $$\frac{1}{x^2}$$