1. Problema: ¿Cuántos grupos de 7 letras se pueden formar con la palabra "Mardones"? - La palabra "Mardones" tiene 8 letras todas diferentes. - Se trata de combinaciones de 7 letras tomadas de 8. - Fórmula de combinación: $$C(n,k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$ - Aquí, $$n=8$$ y $$k=7$$. - Aplicamos: $$C(8,7) = \frac{8!}{7! \times 1!} = \frac{40320}{5040 \times 1} = 8$$ - Por lo tanto, se pueden formar 8 grupos diferentes de 7 letras. 2. Problema: Calcule la operación factorial $$2! - 5! - 0! - 1!$$ - Evaluamos cada factorial: - $$2! = 2 \times 1 = 2$$ - $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ - $$0! = 1$$ (definición) - $$1! = 1$$ - Sustituimos en la expresión: $$2 - 120 - 1 - 1 = 2 - 122 = -120$$ - Resultado: $$-120$$ 3. Problema: Calcule $$\frac{7! \times 6! \times 2!}{3! \times 4! \times 5!}$$ - Evaluamos factoriales: - $$7! = 5040$$ - $$6! = 720$$ - $$2! = 2$$ - $$3! = 6$$ - $$4! = 24$$ - $$5! = 120$$ - Sustituimos y simplificamos: $$\frac{5040 \times 720 \times 2}{6 \times 24 \times 120} = \frac{7257600}{17280} = 420$$ - Resultado: $$420$$ 4. Problema: De un grupo de 19 estudiantes, ¿cuántos equipos de 3 integrantes se pueden formar? - Es una combinación, ya que el orden no importa. - $$n = 19$$, $$k = 3$$ - Usamos fórmula: $$C(19,3) = \frac{19!}{3! \times 16!}$$ - Calculamos directamente: $$C(19,3) = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = \frac{5814}{6} = 969$$ - Resultado: $$969$$ equipos. 5. Problema: Calcule $$3! - 2! - 4! + 1!$$ - Evaluamos factoriales: - $$3! = 6$$ - $$2! = 2$$ - $$4! = 24$$ - $$1! = 1$$ - Sustituimos y operamos: $$6 - 2 - 24 + 1 = 4 - 24 + 1 = -20 + 1 = -19$$ - Resultado: $$-19$$ 6. Problema: Calcule $$\frac{8! \times 6!}{7! \times 4!}$$ - Evaluamos factoriales: - $$8! = 40320$$ - $$6! = 720$$ - $$7! = 5040$$ - $$4! = 24$$ - Sustituimos y simplificamos: $$\frac{40320 \times 720}{5040 \times 24} = \frac{29030400}{120960} = 240$$ - Resultado: $$240$$ 7. Problema: Calcule $$5! + 1! - 4! - 2!$$ - Evaluamos factoriales: - $$5! = 120$$ - $$1! = 1$$ - $$4! = 24$$ - $$2! = 2$$ - Sustituimos y operamos: $$120 + 1 - 24 - 2 = 121 - 26 = 95$$ - Resultado: $$95$$