1. Resolver las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general para cada ecuación en la lista: Para una ecuación $ax^{2} + bx + c = 0$, la fórmula general es: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Ejemplos: 1. Para $2x^{2} + 3x - 2 = 0$, $a=2$, $b=3$, $c=-2$. $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4}$$ $$x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ 2. Para $5x^{2} - 4x + 1 = 0$, $a=5$, $b=-4$, $c=1$. $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{10} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{10}$$ No hay soluciones reales porque la raíz es negativa. 3. Para $3x^{2} + 2x - 8 = 0$, $a=3$, $b=2$, $c=-8$. $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6}$$ $$x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ 4. Para $4x^{2} - 6x + 1 = 0$, $a=4$, $b=-6$, $c=1$. $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8}$$ Simplificando: $$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$$ 5. Para $7x^{2} + 5x - 2 = 0$, $a=7$, $b=5$, $c=-2$. $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-2)}}{2 \cdot 7} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{14} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{14}$$ $$x_1 = \frac{-5 + 9}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}, \quad x_2 = \frac{-5 - 9}{14} = \frac{-14}{14} = -1$$ --- 2. Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización usando la forma $ax^{2} + bx + c = 0 \rightarrow (x + p)(x + q) = 0$. 1. $x^{2} + 5x + 6 = 0$. Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen 5: 2 y 3. $$(x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2, -3$$ 2. $x^{2} - 7x + 12 = 0$. Números que multiplican 12 y suman -7: -3 y -4. $$(x - 3)(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 3, 4$$ 3. $x^{2} - 9 = 0$. Diferencia de cuadrados: $$(x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 3, -3$$ 4. $2x^{2} + 3x - 5 = 0$. Multiplicamos $a \,c = 2 \cdot (-5) = -10$. Buscamos números que multiplican -10 y suman 3: 5 y -2. Reescribimos: $$2x^{2} + 5x - 2x - 5 = 0$$ Factorizamos por grupos: $$x(2x + 5) -1(2x + 5) = 0$$ $$(2x + 5)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}, 1$$ 5. $x^{2} + 4x - 12 = 0$. Números que multiplican -12 y suman 4: 6 y -2. $$(x + 6)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -6, 2$$