1. El problema pide graficar y encontrar el dominio y rango de las funciones dadas. 2. Para cada función, recordemos que: - El dominio es el conjunto de valores de $x$ para los cuales la función está definida. - El rango es el conjunto de valores que toma la función (valores de $f(x)$). 3. Función a) $f(x) = 3x + 1$: - Es una función lineal, definida para todo $x \in \mathbb{R}$. - Dominio: $(-\infty, \infty)$. - Rango: también $(-\infty, \infty)$ porque la línea se extiende indefinidamente. 4. Función b) $f(x) = -2x^2 - x + 1$: - Es una función cuadrática con coeficiente principal negativo, por lo que es una parábola que abre hacia abajo. - Dominio: $(-\infty, \infty)$. - Para encontrar el rango, hallamos el vértice: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-2)} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$$ $$f(x_v) = -2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = -2\left(\frac{1}{16}\right) + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8}$$ - El vértice es máximo, entonces rango: $(-\infty, \frac{9}{8}]$. 5. Función c) $f(x) = \sqrt{x + 2}$: - La raíz cuadrada requiere que $x + 2 \geq 0$. - Dominio: $[-2, \infty)$. - Rango: como la raíz cuadrada es siempre no negativa, rango: $[0, \infty)$. 6. Función d) $F(x) = |3x - 6| - 4$: - El valor absoluto está definido para todo $x$. - Dominio: $(-\infty, \infty)$. - Para el rango, el valor absoluto es siempre $\geq 0$, entonces mínimo de $F(x)$ es cuando $|3x - 6| = 0$: $$3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$$ $$F(2) = 0 - 4 = -4$$ - Como el valor absoluto puede crecer indefinidamente, rango: $[-4, \infty)$. Respuesta final: - a) Dominio $(-\infty, \infty)$, Rango $(-\infty, \infty)$. - b) Dominio $(-\infty, \infty)$, Rango $(-\infty, \frac{9}{8}]$. - c) Dominio $[-2, \infty)$, Rango $[0, \infty)$. - d) Dominio $(-\infty, \infty)$, Rango $[-4, \infty)$.