1. Planteamos el problema: Encontrar el dominio máximo de la función $$f(x) = \sqrt{-2(5 - x)(2x + 1)} + \frac{5x - 2}{7x^{2} - 34x + 48}$$. 2. Para que la función esté definida, debemos cumplir dos condiciones: - El radicando dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero: $$-2(5 - x)(2x + 1) \geq 0$$ - El denominador de la fracción no puede ser cero: $$7x^{2} - 34x + 48 \neq 0$$ 3. Analizamos la desigualdad del radicando: $$-2(5 - x)(2x + 1) \geq 0$$ Dividimos ambos lados por -2 (al dividir por un número negativo, invertimos la desigualdad): $$(5 - x)(2x + 1) \leq 0$$ 4. Encontramos los ceros de la expresión: $$5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$$ $$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$ 5. Estudiamos el signo de $(5 - x)(2x + 1)$ en los intervalos: - Para $x < -\frac{1}{2}$: $(5 - x) > 0$, $(2x + 1) < 0$ entonces producto $< 0$ - Para $-\frac{1}{2} < x < 5$: $(5 - x) > 0$, $(2x + 1) > 0$ entonces producto $> 0$ - Para $x > 5$: $(5 - x) < 0$, $(2x + 1) > 0$ entonces producto $< 0$ Queremos que el producto sea menor o igual a cero, por lo que: $$x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [5, \infty)$$ 6. Ahora, analizamos el denominador para evitar división por cero: $$7x^{2} - 34x + 48 = 0$$ Calculamos el discriminante: $$\Delta = (-34)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1156 - 1344 = -188 < 0$$ Como el discriminante es negativo, no hay raíces reales, por lo que el denominador nunca es cero. 7. Por lo tanto, el dominio máximo de la función es: $$\boxed{(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [5, \infty)}$$ Explicación: La función está definida donde el radicando es no negativo y el denominador no es cero. El denominador no anula la función en ningún punto real, así que solo consideramos la condición del radicando.