1. Planteamos el problema: Encontrar los valores de $m$ y $n$ para que la división $$\frac{x^4 + 2x^3 - 7x^2 + mx + n}{x^2 - 3x + 5}$$ sea exacta, es decir, que el residuo sea cero. 2. Usamos la división de polinomios: Dividimos el polinomio de grado 4 entre el de grado 2 y buscamos que el residuo sea el polinomio cero. 3. Realizamos la división: - Dividimos $x^4$ entre $x^2$ y obtenemos $x^2$. - Multiplicamos $x^2(x^2 - 3x + 5) = x^4 - 3x^3 + 5x^2$. - Restamos: $(x^4 + 2x^3 - 7x^2) - (x^4 - 3x^3 + 5x^2) = 0 + 5x^3 - 12x^2$. 4. Bajamos los términos con $mx + n$ y continuamos: - Dividimos $5x^3$ entre $x^2$ y obtenemos $5x$. - Multiplicamos $5x(x^2 - 3x + 5) = 5x^3 - 15x^2 + 25x$. - Restamos: $(5x^3 - 12x^2 + mx) - (5x^3 - 15x^2 + 25x) = 0 + 3x^2 + (m - 25)x$. 5. Continuamos con el residuo: - Dividimos $3x^2$ entre $x^2$ y obtenemos $3$. - Multiplicamos $3(x^2 - 3x + 5) = 3x^2 - 9x + 15$. - Restamos: $(3x^2 + (m - 25)x + n) - (3x^2 - 9x + 15) = 0 + (m - 25 + 9)x + (n - 15)$. 6. Para que la división sea exacta, el residuo debe ser cero, por lo que: $$m - 25 + 9 = 0 \Rightarrow m - 16 = 0 \Rightarrow m = 16$$ $$n - 15 = 0 \Rightarrow n = 15$$ 7. Respuesta final: Los valores que hacen la división exacta son $$m = 16$$ y $$n = 15$$.