1. **Planteamiento del problema:** Resolver la desigualdad $$\frac{x^2 - 8x + 12}{x^2 + 3x + 5} \leq 0$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para que una fracción sea menor o igual a cero, el numerador y denominador deben tener signos opuestos o el numerador ser cero (ya que el denominador no puede ser cero). 3. **Analizar el denominador:** $$x^2 + 3x + 5$$. Calculemos el discriminante: $$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$$. Esto indica que el denominador nunca es cero y siempre es positivo (porque el coeficiente principal es positivo). 4. **Analizar el numerador:** $$x^2 - 8x + 12$$. Calculemos las raíces: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$ Entonces las raíces son: $$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$. 5. **Signo del numerador:** La parábola abre hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo), por lo que: - Para $x < 2$, el numerador es positivo. - Para $2 \leq x \leq 6$, el numerador es negativo o cero. - Para $x > 6$, el numerador es positivo. 6. **Conclusión:** Como el denominador es siempre positivo, la fracción será menor o igual a cero cuando el numerador sea menor o igual a cero. 7. **Solución:** $$2 \leq x \leq 6$$