1. Planteamos el problema: Determinar si el conjunto de vectores \(\{(5,2,7), (-9,2,7), (11,12,42)\}\) es linealmente independiente o dependiente. 2. Recordemos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe una combinación lineal no trivial que dé el vector cero: $$c_1\begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 7\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}-9 \\ 2 \\ 7\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}11 \\ 12 \\ 42\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ con al menos un coeficiente \(c_i \neq 0\). 3. Esto equivale a resolver el sistema homogéneo: $$\begin{cases} 5c_1 - 9c_2 + 11c_3 = 0 \\ 2c_1 + 2c_2 + 12c_3 = 0 \\ 7c_1 + 7c_2 + 42c_3 = 0 \end{cases}$$ 4. Observamos que la tercera ecuación es múltiplo de la segunda (multiplicando la segunda por 3.5 se obtiene la tercera), por lo que no aporta información nueva. 5. Entonces, resolvemos las dos primeras ecuaciones: De la primera: $$5c_1 - 9c_2 + 11c_3 = 0$$ De la segunda: $$2c_1 + 2c_2 + 12c_3 = 0$$ 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2.5 para igualar coeficientes de \(c_1\): $$5c_1 + 5c_2 + 30c_3 = 0$$ 7. Restamos la primera ecuación de esta nueva: $$(5c_1 + 5c_2 + 30c_3) - (5c_1 - 9c_2 + 11c_3) = 0 - 0$$ $$5c_2 + 30c_3 - (-9c_2 + 11c_3) = 0$$ $$5c_2 + 30c_3 + 9c_2 - 11c_3 = 0$$ $$14c_2 + 19c_3 = 0$$ 8. De aquí: $$14c_2 = -19c_3 \implies c_2 = -\frac{19}{14}c_3$$ 9. Sustituimos \(c_2\) en la segunda ecuación original: $$2c_1 + 2\left(-\frac{19}{14}c_3\right) + 12c_3 = 0$$ $$2c_1 - \frac{38}{14}c_3 + 12c_3 = 0$$ $$2c_1 + \left(12 - \frac{38}{14}\right)c_3 = 0$$ $$2c_1 + \frac{168 - 38}{14}c_3 = 0$$ $$2c_1 + \frac{130}{14}c_3 = 0$$ $$2c_1 = -\frac{130}{14}c_3 \implies c_1 = -\frac{65}{14}c_3$$ 10. Como \(c_3\) es libre, podemos elegir \(c_3 \neq 0\) y obtener valores no nulos para \(c_1\) y \(c_2\) que satisfacen el sistema. 11. Por lo tanto, existe una combinación lineal no trivial que da el vector cero, lo que implica que los vectores son linealmente dependientes. **Respuesta final:** El conjunto es linealmente dependiente.