1. **Plantear el problema:** Demostrar que $$\left(2^{\pi} - 9^{\frac{\pi}{2} + \frac{1}{5}}\right)^{\sqrt{2^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5}}} = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}\right)$$. 2. **Analizar la expresión:** Observamos potencias con base 2 y 9, y exponentes que involucran \(\pi\) y fracciones. También hay una raíz cuadrada en el exponente. 3. **Reescribir bases y exponentes:** Sabemos que \(9 = 3^2\), entonces: $$9^{\frac{\pi}{2} + \frac{1}{5}} = (3^2)^{\frac{\pi}{2} + \frac{1}{5}} = 3^{2\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{5}\right)} = 3^{\pi + \frac{2}{5}}$$ 4. **Simplificar la expresión dentro del paréntesis:** $$2^{\pi} - 9^{\frac{\pi}{2} + \frac{1}{5}} = 2^{\pi} - 3^{\pi + \frac{2}{5}}$$ 5. **Evaluar la raíz en el exponente:** $$\sqrt{2^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5}} = \sqrt{\sqrt{2} + 0.2}$$ 6. **No hay una simplificación directa evidente, por lo que evaluamos numéricamente para verificar la igualdad:** - Calcular \(2^{\pi} \approx 2^{3.1416} \approx 8.824\) - Calcular \(3^{\pi + \frac{2}{5}} = 3^{3.1416 + 0.4} = 3^{3.5416} \approx 46.765\) - Entonces, \(2^{\pi} - 3^{\pi + \frac{2}{5}} \approx 8.824 - 46.765 = -37.941\) 7. **El valor dentro del paréntesis es negativo, y elevar a una raíz cuadrada (irracional) no está definido en reales, lo que indica que la igualdad no es correcta o hay un error en la expresión dada.** 8. **Verificar el lado derecho:** $$3\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}\right)$$ Calculamos: - \(\sqrt{2} \approx 1.414\) - \(\sqrt{5} \approx 2.236\) - Denominador: \(1.414 + 2.236 = 3.65\) - Fracción: \(\frac{1.414}{3.65} \approx 0.387\) - Multiplicado por 3: \(3 \times 0.387 = 1.161\) 9. **Conclusión:** El lado izquierdo es negativo elevado a una potencia irracional, no definido en reales, y el derecho es positivo. Por lo tanto, la igualdad no se cumple con los valores dados. **Respuesta:** La igualdad no es verdadera con los valores y expresiones dadas.