1. Planteamos el problema: Demostrar que el vector $c = (2,4,6)$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores $u_1 = (1,0,1)$, $u_2 = (1,1,1)$ y $u_3 = (0,-1,1)$. 2. La combinación lineal de los vectores $u_1$, $u_2$ y $u_3$ se expresa como: $$c = a u_1 + b u_2 + c u_3$$ donde $a$, $b$ y $c$ son escalares que debemos encontrar. 3. Escribimos la ecuación en componentes: $$ (2,4,6) = a(1,0,1) + b(1,1,1) + c(0,-1,1) $$ lo que da el sistema: $$ \begin{cases} 2 = a + b + 0 \\ 4 = 0 + b - c \\ 6 = a + b + c \end{cases} $$ 4. Simplificamos el sistema: - Primera ecuación: $2 = a + b$ - Segunda ecuación: $4 = b - c$ - Tercera ecuación: $6 = a + b + c$ 5. De la primera ecuación despejamos $a$: $$ a = 2 - b $$ 6. De la segunda ecuación despejamos $c$: $$ c = b - 4 $$ 7. Sustituimos $a$ y $c$ en la tercera ecuación: $$ 6 = (2 - b) + b + (b - 4) $$ $$ 6 = 2 - b + b + b - 4 $$ $$ 6 = (2 - 4) + b $$ $$ 6 = -2 + b $$ 8. Despejamos $b$: $$ b = 6 + 2 = 8 $$ 9. Calculamos $a$ y $c$ usando $b=8$: $$ a = 2 - 8 = -6 $$ $$ c = 8 - 4 = 4 $$ 10. Verificamos la combinación lineal: $$ -6(1,0,1) + 8(1,1,1) + 4(0,-1,1) = (-6,0,-6) + (8,8,8) + (0,-4,4) = (2,4,6) $$ Por lo tanto, $c$ sí se puede escribir como combinación lineal de $u_1$, $u_2$ y $u_3$ con $a = -6$, $b = 8$ y $c = 4$.