1. El problema nos pide desarrollar el binomio $$\left(x - \frac{2}{x}\right)^4$$ en potencias ascendentes de $x$ y simplificar la expresión. 2. Utilizamos el teorema del binomio: $$ (a-b)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} a^{4-k}(-b)^k $$ aquí $a = x$ y $b = \frac{2}{x}$. 3. Calculamos cada término del desarrollo: - Para $k=0$: $$\binom{4}{0} x^{4} \left(-\frac{2}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4$$ - Para $k=1$: $$\binom{4}{1} x^{3} \left(-\frac{2}{x}\right)^1 = 4 x^3 \left(-\frac{2}{x}\right) = 4 x^3 \times \left(-2 x^{-1}\right) = -8 x^{2}$$ - Para $k=2$: $$\binom{4}{2} x^{2} \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 6 x^2 \left(\frac{4}{x^2}\right) = 6 x^2 \times 4 x^{-2} = 24$$ - Para $k=3$: $$\binom{4}{3} x^{1} \left(-\frac{2}{x}\right)^3 = 4 x \left(-\frac{8}{x^3}\right) = 4 x \times -8 x^{-3} = -32 x^{-2}$$ - Para $k=4$: $$\binom{4}{4} x^{0} \left(-\frac{2}{x}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{x^4} = 16 x^{-4}$$ 4. Sumamos todos los términos: $$x^4 - 8 x^2 + 24 - 32 x^{-2} + 16 x^{-4}$$ 5. Como los términos están en potencias ascendentes de $x$, ordenamos desde menor a mayor potencia: $$16 x^{-4} - 32 x^{-2} + 24 - 8 x^{2} + x^{4}$$ Esta es la expresión desarrollada y simplificada en potencias ascendentes de $x$.