1. Planteamos el problema: Encontrar una base para $\mathbb{R}^3$ que contenga a los vectores $U_1 = (1,0,-1)$ y $U_2 = (0,1,0)$. 2. Comprobamos que $U_1$ y $U_2$ son linealmente independientes. Esto se ve porque ninguno es un múltiplo escalar del otro. 3. Para formar una base completa de $\mathbb{R}^3$, necesitamos un tercer vector $U_3$ que no se pueda expresar como combinación lineal de $U_1$ y $U_2$. 4. Buscamos un vector $U_3 = (x,y,z)$ tal que no pertenezca al plano generado por $U_1$ y $U_2$. Por ejemplo, podemos elegir un vector ortogonal a ambos: 5. Calculamos el producto cruz $U_1 \times U_2$ para obtener un vector ortogonal a ambos: $$U_1 \times U_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = (1)\mathbf{i} - (0)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k} = (1,0,1)$$ 6. Verificamos que $U_3 = (1,0,1)$ no es combinación lineal de $U_1$ y $U_2$. 7. Por tanto, una base para $\mathbb{R}^3$ que contiene $U_1$ y $U_2$ es: $$\{(1,0,-1), (0,1,0), (1,0,1)\}$$ Respuesta final: La base buscada es $\{(1,0,-1), (0,1,0), (1,0,1)\}$.