1. Planteamos el problema: Tres granjeros dividieron en partes iguales el arroz cultivado. Cada uno vendió en mercados con medidas diferentes: 7, 15 y 19 kilos respectivamente. 2. Definamos variables: Sea $x$ la cantidad total de arroz cultivado. Cada granjero recibe $\frac{x}{3}$ kilos. 3. En cada mercado, el granjero vende en medidas enteras y le sobra cierta cantidad: - Primer granjero: medida 7 kilos, sobra 6 kilos. - Segundo granjero: medida 15 kilos, sobra 11 kilos. - Tercer granjero: medida 19 kilos, sobra 14 kilos. 4. Esto implica que para cada granjero, su parte menos el sobrante es múltiplo de la medida del mercado: $$\frac{x}{3} - 6 = 7a$$ $$\frac{x}{3} - 11 = 15b$$ $$\frac{x}{3} - 14 = 19c$$ Donde $a,b,c$ son enteros no negativos. 5. Igualamos las expresiones para $\frac{x}{3}$: $$7a + 6 = 15b + 11 = 19c + 14$$ Sea $k = 7a + 6 = 15b + 11 = 19c + 14$. 6. Restamos para encontrar congruencias: $$k \equiv 6 \pmod{7}$$ $$k \equiv 11 \pmod{15}$$ $$k \equiv 14 \pmod{19}$$ 7. Resolvemos el sistema de congruencias usando el Teorema Chino del Resto. 8. Primero, entre mod 7 y mod 15: Buscamos $k$ tal que: $$k \equiv 6 \pmod{7}$$ $$k \equiv 11 \pmod{15}$$ Probamos valores $k = 6 + 7t$ y buscamos $t$ que satisfaga $k \equiv 11 \pmod{15}$: - Para $t=1$, $k=13$, $13 \mod 15 = 13 \neq 11$ - Para $t=2$, $k=20$, $20 \mod 15 = 5 \neq 11$ - Para $t=3$, $k=27$, $27 \mod 15 = 12 \neq 11$ - Para $t=4$, $k=34$, $34 \mod 15 = 4 \neq 11$ - Para $t=5$, $k=41$, $41 \mod 15 = 11$ ¡Sí! Entonces, $k \equiv 41 \pmod{105}$ (porque $7 \times 15 = 105$). 9. Ahora, combinamos con $k \equiv 14 \pmod{19}$: Buscamos $k = 41 + 105m$ tal que: $$41 + 105m \equiv 14 \pmod{19}$$ Calculamos $41 \mod 19 = 3$, $105 \mod 19 = 10$, entonces: $$3 + 10m \equiv 14 \pmod{19}$$ $$10m \equiv 11 \pmod{19}$$ 10. Buscamos el inverso de 10 módulo 19: Probamos $10 \times n \equiv 1 \pmod{19}$: - $10 \times 2 = 20 \equiv 1 \pmod{19}$ Entonces, el inverso es 2. 11. Multiplicamos ambos lados por 2: $$m \equiv 11 \times 2 = 22 \equiv 3 \pmod{19}$$ 12. Por lo tanto, $m = 3 + 19t$ para algún entero $t$. 13. El valor mínimo de $k$ es para $m=3$: $$k = 41 + 105 \times 3 = 41 + 315 = 356$$ 14. Finalmente, recordamos que: $$\frac{x}{3} = k$$ Entonces: $$x = 3k = 3 \times 356 = 1068$$ 15. Respuesta: Habían cultivado 1068 kilos de arroz.