1. **Planteamiento del problema:** Analizaremos la función $$f(x) = \frac{x+2}{x+1}$$ para determinar su dominio, asíntotas, monotonicidad y graficarla. 2. **Dominio:** El dominio son todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida. Aquí, el denominador no puede ser cero. $$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$$ Por lo tanto, el dominio es $$\{x \in \mathbb{R} : x \neq -1\}$$. 3. **Asíntotas:** - **Asíntota vertical:** Se da donde el denominador es cero y el numerador no es cero. En $x=-1$, el denominador es cero y el numerador es $-1+2=1 \neq 0$, por lo que hay una asíntota vertical en $$x = -1$$. - **Asíntota horizontal:** Se determina analizando el límite cuando $x \to \pm \infty$. Dividimos numerador y denominador por $x$: $$f(x) = \frac{x+2}{x+1} = \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$$ Cuando $x \to \infty$, $\frac{2}{x} \to 0$ y $\frac{1}{x} \to 0$, entonces: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{1+0}{1+0} = 1$$ Similarmente para $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$$ Por lo tanto, la asíntota horizontal es $$y = 1$$. 4. **Monotonía:** Calculamos la derivada para estudiar el crecimiento o decrecimiento. $$f(x) = \frac{x+2}{x+1}$$ Usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x+2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x - 2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$$ El denominador es siempre positivo excepto en $x=-1$ donde no está definida. Por lo tanto, $$f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} < 0$$ para todo $x \neq -1$. Esto indica que la función es estrictamente decreciente en cada intervalo de su dominio. 5. **Gráfica:** La función tiene una asíntota vertical en $x=-1$ y una horizontal en $y=1$, y es decreciente en ambos lados de la asíntota vertical. **Resumen:** - Dominio: $$x \neq -1$$ - Asíntota vertical: $$x = -1$$ - Asíntota horizontal: $$y = 1$$ - Monotonía: decreciente en $$(-\infty, -1)$$ y $$(-1, \infty)$$