1. We beginnen met het probleem: bepalen of het verstandig is om de productie en verkoop van kristallen glazen te verhogen, aan de hand van de winstfunctie $$W(x) = -0,0164x^3 + 1,3x^2 - 6,9286x - 250$$ waarbij $$x$$ het aantal verkochte glazen per dag is. 2. Om te beoordelen of verhogen van $$x$$ positief is, bestuderen we het gedrag van $$W(x)$$, vooral de afgeleide $$W'(x)$$ die de verandering van winst met $$x$$ aangeeft. 3. Bereken de eerste afgeleide $$W'(x)$$: $$W'(x) = \frac{d}{dx} \left(-0,0164x^3 + 1,3x^2 - 6,9286x - 250\right) = -0,0492x^2 + 2,6x - 6,9286$$ 4. Zoek de nulpunten van $$W'(x)$$ om te bepalen waar de winst een maximum, minimum of buigpunt heeft: $$-0,0492x^2 + 2,6x - 6,9286 = 0$$ 5. Deel gehele vergelijking door $$-0,0492$$ voor eenvoud: $$x^2 - 52,85x + 140,88 = 0$$ (afgerond) 6. Los op met de discriminant: $$\Delta = 52,85^2 - 4 \times 1 \times 140,88 = 2792,82 - 563,52 = 2229,30$$ 7. Zoek de nulpunten: $$x = \frac{52,85 \pm \sqrt{2229,30}}{2}$$ $$\sqrt{2229,30} \approx 47,26$$ Dus: $$x_1 = \frac{52,85 - 47,26}{2} = 2,79$$ $$x_2 = \frac{52,85 + 47,26}{2} = 50,06$$ 8. Controleer het teken van $$W'(x)$$ voor, tussen en na deze waarden om te bepalen of $$W(x)$$ stijgt of daalt: - Voor $$x < 2,79$$: kies $$x=0$$, $$W'(0) = -6,9286 < 0$$ dus dalend. - Tussen $$2,79 < x < 50,06$$: kies $$x=10$$, $$W'(10) = -0,0492\times100 + 2,6\times10 - 6,9286 = -4,92 + 26 - 6,9286 = 14,15 > 0$$ stijgend. - Voor $$x > 50,06$$: kies $$x=60$$, $$W'(60) = -0,0492\times3600 + 2,6\times60 - 6,9286 = -177,12 + 156 - 6,9286 = -28,05 < 0$$ dalend. 9. Dit betekent dat $$W(x)$$ eerst daalt totdat $$x=2,79$$, stijgt tot $$x=50,06$$ en dan weer daalt. 10. De winst is maximaal rond $$x \approx 50$$ glazen per dag. 11. Conclusie: het is verstandig om de productie en verkoop te verhogen zolang $$x$$ minder is dan ongeveer 50 glazen, omdat de winst dan stijgt. Na dat punt neemt de winst weer af, dus verder verhogen is niet verstandig.