1. Problemstellung: Wir sollen 50 Würfe mit zwei Würfeln simulieren und das arithmetische Mittel der Augensumme bestimmen. 2. Formel: Das arithmetische Mittel (Erwartungswert) $\overline{X}$ berechnet sich als: $$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ Hier ist $X_i$ die Augensumme beim $i$-ten Wurf und $n=50$ die Anzahl der Würfe. 3. Simulation: Bei jedem Wurf werden zwei Würfel geworfen, deren Augensummen zwischen 2 und 12 liegen. 4. Beispielhafte Berechnung: Angenommen, die 50 Augensummen sind $X_1, X_2, ..., X_{50}$, dann summieren wir alle und teilen durch 50. 5. Wahrscheinlichkeitsverteilung (Teil b): Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme $X$ bei zwei Würfeln ist: $$P(X=k) = \frac{\text{Anzahl der Kombinationen mit Summe } k}{36}$$ Die Anzahl der Kombinationen für $k$ ist: - 2: 1 - 3: 2 - 4: 3 - 5: 4 - 6: 5 - 7: 6 - 8: 5 - 9: 4 - 10: 3 - 11: 2 - 12: 1 6. Beispiel: Für $k=7$ gilt $P(X=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. 7. Änderung bei 500 Würfen (Teil c): Bei mehr Würfen nähert sich das empirische arithmetische Mittel dem theoretischen Erwartungswert von $7$ an. Auch die empirische Wahrscheinlichkeitsverteilung wird genauer und ähnelt stärker der theoretischen Verteilung. Zusammenfassung: Das arithmetische Mittel der Augensumme bei 50 Würfen wird durch Mittelung der Ergebnisse berechnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist bekannt und basiert auf der Anzahl der Kombinationen. Bei 500 Würfen verbessert sich die Genauigkeit der Schätzungen. Endergebnis: Das theoretische arithmetische Mittel der Augensumme zweier Würfel ist: $$E(X) = \sum_{k=2}^{12} k \cdot P(X=k) = 7$$