1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác đều ABC, các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow{BM} = k \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AP} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB}\). 2. **Phân tích câu a)** Kiểm tra \(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM}\). - Ta có \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \frac{2}{3} \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\). - Vậy \(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AN} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\). - \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + k(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - k \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}\). - So sánh hai vế ta thấy \(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AN} \neq \overrightarrow{AM}\) khi \(\frac{4}{15} \neq 1-k\) hoặc \(\frac{1}{3} \neq k\). 3. **Phân tích câu b)** \(\overrightarrow{AM} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}\). - Qua tính toán trên đây, đúng vì biểu thức của \(\overrightarrow{AM}\) đã được chứng minh là như vậy. 4. **Phân tích câu c)** Tính \(\overrightarrow{PN}\). - \(\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AN} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\). - Vậy câu c) đúng. 5. **Phân tích câu d)** Tìm giá trị của k sao cho \(\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{PN}\): - \(\overrightarrow{AM} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{PN} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\) - Tích vô hướng bằng 0: $$ ((1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}) \cdot \left(-\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\right) = 0 $$ - Do tam giác đều, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|^2\), xét độ dài \( |\overrightarrow{AB}|^2 = a^2 \). - Tính tích: $$ (1-k) \left(-\frac{4}{15} a^2\right) + k \left(\frac{1}{3} a^2\right) + (1-k) k \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 $$ Tuy nhiên đây là tích vô hướng của hai vector được biểu diễn theo cơ sở \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không trực giao, ta có: $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = a^2, \quad \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2, \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} a^2 $$ Tính tích vô hướng đầy đủ: $$ ((1-k)(-\frac{4}{15} a^2)) + k (\frac{1}{3} a^2) + (1-k) k \frac{1}{2} a^2 = 0 $$ Chia cả hai vế cho \(a^2\) (không bằng 0): $$ -\frac{4}{15} (1-k) + \frac{1}{3} k + \frac{1}{2} k (1-k) = 0 $$ Mở rộng: $$ -\frac{4}{15} + \frac{4}{15} k + \frac{1}{3} k + \frac{1}{2} k - \frac{1}{2} k^2 = 0 $$ Gộp các hệ số k: $$ \frac{4}{15} k + \frac{1}{3} k + \frac{1}{2} k = k \left(\frac{4}{15} + \frac{5}{15} + \frac{7.5}{15}\right) = k \cdot \frac{16.5}{15} = \frac{11}{10} k $$ Phương trình là: $$ -\frac{4}{15} + \frac{11}{10} k - \frac{1}{2} k^2 = 0 $$ Nhân cả hai vế với 30 để bỏ mẫu: $$ -8 + 33 k - 15 k^2 = 0 $$ Viết lại: $$ 15 k^2 - 33 k + 8 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ k = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 4 \cdot 15 \cdot 8}}{2 \cdot 15} = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 480}}{30} = \frac{33 \pm \sqrt{609}}{30} $$ Giá trị gần đúng: $$ \sqrt{609} \approx 24.679 $$ Do đó: $$ k_1 = \frac{33 - 24.679}{30} \approx 0.2767, \quad k_2 = \frac{33 + 24.679}{30} > 1 $$ Giá trị k phải nằm trong đoạn \([0,1]\) vì là hệ số tỉ lệ trên đoạn BC, nên chọn \(k \approx 0.2767\). Câu khẳng định \(k = \frac{1}{6} = 0.1667\) là sai. **Kết luận:** a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai