1. **Énoncé du problème :** Nous devons montrer que pour le point N, intersection de la droite (CD) avec (AB), on a $$\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$$. 2. **Rappel des données :** - $$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC}$$ - Points $D_1$ et $D_2$ sont les projections de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ et sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ respectivement. 3. **Définition des vecteurs de base :** Posons $$\overrightarrow{AB} = \vec{u}$$ et $$\overrightarrow{AC} = \vec{v}$$. 4. **Exprimer $$\overrightarrow{BC}$$ :** $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec{u} + \vec{v}$$. 5. **Exprimer $$\overrightarrow{CD}$$ en fonction de $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ :** $$\overrightarrow{CD} = \vec{v} + 2(-\vec{u} + \vec{v}) = \vec{v} - 2\vec{u} + 2\vec{v} = -2\vec{u} + 3\vec{v}$$. 6. **Exprimer $$\overrightarrow{AD}$$ :** $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \vec{v} + (-2\vec{u} + 3\vec{v}) = -2\vec{u} + 4\vec{v}$$. 7. **Paramétrisation de la droite (CD) :** Le point $C$ a pour vecteur position $$\overrightarrow{AC} = \vec{v}$$. Un point $X$ sur (CD) s'écrit : $$\overrightarrow{AX} = \vec{v} + t(-2\vec{u} + 3\vec{v}) = \vec{v} - 2t\vec{u} + 3t\vec{v} = -2t\vec{u} + (1 + 3t)\vec{v}$$. 8. **Paramétrisation de la droite (AB) :** Un point $Y$ sur (AB) s'écrit : $$\overrightarrow{AY} = s\vec{u}$$ avec $s \in \mathbb{R}$. 9. **Trouver le point N d'intersection entre (CD) et (AB) :** On cherche $t$ et $s$ tels que $$-2t\vec{u} + (1 + 3t)\vec{v} = s\vec{u}$$. 10. **Égalité vectorielle implique égalité des composantes :** - Composante selon $$\vec{u}$$ : $$-2t = s$$ - Composante selon $$\vec{v}$$ : $$1 + 3t = 0$$ 11. **Résoudre pour $t$ :** $$1 + 3t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$$. 12. **Calculer $s$ :** $$s = -2t = -2 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$$. 13. **Conclusion :** Le point $N$ sur (AB) a pour vecteur position : $$\overrightarrow{AN} = s\vec{u} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$$. Ceci montre bien que $$\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$$. **Réponse finale :** $$\boxed{\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}}$$.