1. Énonçons le problème : On a un vecteur $\mathbf{U} = (xy, y^3z, xz)$ et on doit calculer le rotationnel $\nabla \times \mathbf{U}$ puis appliquer la divergence $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{U})$ sur ce vecteur résultant. 2. Calculons le rotationnel $\nabla \times \mathbf{U}$ pour $\mathbf{U} = (U_1, U_2, U_3)$ avec $U_1 = xy$, $U_2 = y^3z$, $U_3 = xz$ : $$\nabla \times \mathbf{U} = \left( \frac{\partial U_3}{\partial y} - \frac{\partial U_2}{\partial z}, \frac{\partial U_1}{\partial z} - \frac{\partial U_3}{\partial x}, \frac{\partial U_2}{\partial x} - \frac{\partial U_1}{\partial y} \right)$$ 3. Calculons chaque dérivée partielle : - $\frac{\partial U_3}{\partial y} = \frac{\partial (xz)}{\partial y} = 0$ - $\frac{\partial U_2}{\partial z} = \frac{\partial (y^3z)}{\partial z} = y^3$ - $\frac{\partial U_1}{\partial z} = \frac{\partial (xy)}{\partial z} = 0$ - $\frac{\partial U_3}{\partial x} = \frac{\partial (xz)}{\partial x} = z$ - $\frac{\partial U_2}{\partial x} = \frac{\partial (y^3z)}{\partial x} = 0$ - $\frac{\partial U_1}{\partial y} = \frac{\partial (xy)}{\partial y} = x$ 4. Substituons dans la formule du rotationnel : $$\nabla \times \mathbf{U} = (0 - y^3, 0 - z, 0 - x) = (-y^3, -z, -x)$$ 5. Maintenant, calculons la divergence de ce vecteur : $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{U}) = \frac{\partial}{\partial x}(-y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(-z) + \frac{\partial}{\partial z}(-x)$$ 6. Examinons les dérivées partielles : - $\frac{\partial (-y^3)}{\partial x} = 0$ car $-y^3$ est indépendant de $x$ - $\frac{\partial (-z)}{\partial y} = 0$ car $-z$ est indépendant de $y$ - $\frac{\partial (-x)}{\partial z} = 0$ car $-x$ est indépendant de $z$ 7. Donc : $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{U}) = 0 + 0 + 0 = 0$$ **Réponse finale :** Le rotationnel de $\mathbf{U}$ est $$\nabla \times \mathbf{U} = (-y^3, -z, -x)$$ et la divergence du rotationnel est $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{U}) = 0$$