1. **Énoncé du problème :** Calculer le flux du champ de vecteurs $\vec{V} = (xz, z, -\frac{z^2}{2})$ à travers la surface $S$ définie par $z = x^2 + y^2$ avec $z \leq 1$, orientée par les normales faisant un angle aigu avec l'axe $O(z)$. 2. **Formules et notations :** La surface $S$ est donnée par $z = \varphi(x,y) = x^2 + y^2$. On définit : $$p(x,y) = \frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x, \quad q(x,y) = \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2y.$$ Le champ de vecteurs a pour composantes : $$V_1 = xz, \quad V_2 = z, \quad V_3 = -\frac{z^2}{2}.$$ On évalue ces composantes sur la surface $S$ : $$\vec{V}_1(x,y) = x(x^2 + y^2) = x^3 + xy^2,$$ $$\vec{V}_2(x,y) = x^2 + y^2,$$ $$\vec{V}_3(x,y) = -\frac{(x^2 + y^2)^2}{2}.$$ L'orientation est telle que $e = 1$ car les normales font un angle aigu avec $O(z)$. 3. **Expression du flux :** Le flux est donné par : $$\Phi_S(\vec{V}) = e \iint_D \left(-p(x,y)\vec{V}_1(x,y) - q(x,y)\vec{V}_2(x,y) + \vec{V}_3(x,y)\right) dx dy,$$ avec $D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$. 4. **Calcul du flux :** Substituons les expressions : $$-p(x,y)\vec{V}_1 = -2x(x^3 + xy^2) = -2x^4 - 2x^2 y^2,$$ $$-q(x,y)\vec{V}_2 = -2y(x^2 + y^2) y = -2y^2 x^2 - 2y^4,$$ $$\vec{V}_3 = -\frac{(x^2 + y^2)^2}{2} = -\frac{x^4 + 2x^2 y^2 + y^4}{2}.$$ Additionnons : $$-p\vec{V}_1 - q\vec{V}_2 + \vec{V}_3 = (-2x^4 - 2x^2 y^2) + (-2x^2 y^2 - 2y^4) - \frac{x^4 + 2x^2 y^2 + y^4}{2}.$$ Simplifions : $$= -2x^4 - 2x^2 y^2 - 2x^2 y^2 - 2y^4 - \frac{x^4}{2} - x^2 y^2 - \frac{y^4}{2}$$ $$= -2x^4 - 4x^2 y^2 - 2y^4 - \frac{x^4}{2} - x^2 y^2 - \frac{y^4}{2}$$ $$= -\frac{5}{2} x^4 - 5 x^2 y^2 - \frac{5}{2} y^4.$$ 5. **Passage en coordonnées polaires :** Posons $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, avec $r \in [0,1]$, $\theta \in [0, 2\pi]$. On a : $$x^4 = r^4 \cos^4 \theta, \quad y^4 = r^4 \sin^4 \theta, \quad x^2 y^2 = r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta.$$ Le jacobien est $dx dy = r dr d\theta$. L'intégrale devient : $$\Phi_S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 -\frac{5}{2} r^4 \cos^4 \theta - 5 r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta - \frac{5}{2} r^4 \sin^4 \theta \cdot r dr d\theta.$$ Soit : $$\Phi_S = -5 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^5 \left( \frac{1}{2} \cos^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin^4 \theta \right) dr d\theta.$$ 6. **Simplification de l'expression angulaire :** Notons : $$f(\theta) = \frac{1}{2} \cos^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta + \frac{1}{2} \sin^4 \theta.$$ Utilisons les identités trigonométriques : $$\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta.$$ Donc : $$f(\theta) = \frac{1}{2} (1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta) + \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{1}{2} + \left(-1 + 1\right) \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{1}{2}.$$ 7. **Calcul de l'intégrale :** $$\Phi_S = -5 \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^5 \frac{1}{2} dr d\theta = -\frac{5}{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^5 dr.$$ Calculons les intégrales : $$\int_0^1 r^5 dr = \frac{1}{6}, \quad \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$ Donc : $$\Phi_S = -\frac{5}{2} \times 2\pi \times \frac{1}{6} = -\frac{5\pi}{6}.$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\Phi_S = -\frac{5\pi}{6}}.$$