1. **Постановка задачі:** Знайти циркуляцію векторного поля $$\vec{a} = (2y - z) \vec{i} + (x + y) \vec{j} + x \vec{k}$$ по контуру $$L$$, який є перетином площини $$x + 2y + z = 4$$ з координатними площинами, за додатного напрямку обходу. 2. **Визначення нормального вектора:** Нормальний вектор до площини $$x + 2y + z = 4$$ заданий як $$\vec{n} = (1, 2, 1)$$. 3. **Формула циркуляції:** Циркуляція векторного поля по замкненому контуру $$L$$ дорівнює криволінійному інтегралу $$\oint_L \vec{a} \cdot d\vec{r}$$. 4. **Застосування теореми Стокса:** Замість обчислення криволінійного інтегралу, використаємо теорему Стокса, яка пов'язує циркуляцію з поверхневим інтегралом ротора векторного поля: $$\oint_L \vec{a} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} \, dS$$ де $$S$$ — поверхня, обмежена контуром $$L$$, а $$\vec{n}$$ — одиничний нормальний вектор до цієї поверхні. 5. **Обчислення ротора векторного поля:** $$\nabla \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2y - z & x + y & x \end{vmatrix}$$ Обчислимо компоненти: - $$\left( \frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial (x + y)}{\partial z} \right) = 0 - 0 = 0$$ - $$\left( \frac{\partial (2y - z)}{\partial z} - \frac{\partial x}{\partial x} \right) = (-1) - 1 = -2$$ - $$\left( \frac{\partial (x + y)}{\partial x} - \frac{\partial (2y - z)}{\partial y} \right) = 1 - 2 = -1$$ Отже, $$\nabla \times \vec{a} = 0 \vec{i} - 2 \vec{j} - 1 \vec{k} = (0, -2, -1)$$ 6. **Нормалізація нормального вектора:** Довжина $$\vec{n} = (1, 2, 1)$$: $$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ Одиничний нормальний вектор: $$\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1)$$ 7. **Обчислення скалярного добутку ротора і нормалі:** $$ (\nabla \times \vec{a}) \cdot \hat{n} = (0, -2, -1) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1) = \frac{1}{\sqrt{6}} (0 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 1) = \frac{1}{\sqrt{6}} (-4 -1) = \frac{-5}{\sqrt{6}} $$ 8. **Обчислення площі трикутника:** Перетин площини з координатними площинами утворює трикутник з вершинами на осях: - При $$y=0, z=0$$: $$x=4$$ - При $$x=0, z=0$$: $$2y=4 \Rightarrow y=2$$ - При $$x=0, y=0$$: $$z=4$$ Площа трикутника: $$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$$ 9. **Обчислення циркуляції:** За теоремою Стокса: $$\oint_L \vec{a} \cdot d\vec{r} = (\nabla \times \vec{a}) \cdot \hat{n} \times S = \frac{-5}{\sqrt{6}} \times 4 = \frac{-20}{\sqrt{6}}$$ 10. **Відповідь:** Циркуляція векторного поля по контуру $$L$$ дорівнює: $$\boxed{\frac{-20}{\sqrt{6}}}$$