1. **Exercice 1 : Construction des vecteurs** Soit $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ trois vecteurs. Construire : - $\mathbf{x} = \mathbf{u} + \mathbf{v}$ - $\mathbf{y} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$ - $\mathbf{z} = \mathbf{u} + \mathbf{v} + 2\mathbf{w}$ 2. **Exercice 2 : Construction des points** Soient $A, B, C$ trois points. - $\vec{AN} = -2\vec{AC}$ donc $N$ est tel que $AN$ est opposé et double de $AC$. - $\vec{AM} = 3\vec{AB}$ donc $M$ est obtenu en étirant de 3 fois $AB$ à partir de $A$. - $\vec{PC} = \vec{AN} + \vec{AM}$ donc on calcule la somme vectorielle pour obtenir $P$. 3. **Exercice 3 : Simplification de vecteurs** - $\mathbf{u} = \vec{AB} + \vec{AC} - \vec{BC}$. \text{Or } \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$. Donc $\mathbf{u} = \vec{AB} + \vec{AC} - (-\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB}$. - $\mathbf{v} = \vec{BA} - 2\vec{CA} - (\vec{CB} - \vec{CA})$. $\vec{BA} = -\vec{AB}$, $\vec{CA} = -\vec{AC}$, $\vec{CB} = -\vec{BC} = -(-\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} - \vec{AC}$. Donc $\mathbf{v} = -\vec{AB} - 2(-\vec{AC}) - (\vec{AB} - \vec{AC} - (-\vec{AC})) = -\vec{AB} + 2\vec{AC} - (\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AC}) = -\vec{AB} + 2\vec{AC} - \vec{AB} = -2\vec{AB} + 2\vec{AC}$. - $\mathbf{w} = \frac{1}{2} \vec{BA} - \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{CB} + \frac{1}{4} \vec{CA}$. Substituons $\vec{BA} = -\vec{AB}$, $\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$, $\vec{CA} = -\vec{AC}$. $\mathbf{w} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) - \vec{AC} + \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC}) + \frac{1}{4}(-\vec{AC}) = -\frac{1}{2} \vec{AB} - \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AC} - \frac{1}{4} \vec{AC} = 0\vec{AB} -\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \vec{AC} = -\frac{7}{4} \vec{AC}$. 4. **Exercice 4 : Milieu du segment** On a $2\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Or $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$, et $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$, $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$. Rearrange : $\vec{OC} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$. Cela montre que $C$ est le point milieu de $[AB]$. 5. **Exercice 5 : Parallélogramme et milieu** Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $DE = 2DA$ et $DF = 2DC$. Exprimer $\vec{BE}$ et $\vec{BF}$ en fonction de $\vec{BA}$ et $\vec{BD}$. Montrer que $B$ est le milieu de $[EF]$ en majorant $\vec{BE} + \vec{BF} = 2\vec{BA} + 2\vec{BD}$. 6. **Exercice 6 : Parallélisme** 1) Construire $D$ tel que $\vec{AD} = \frac{4}{3} \vec{AB}$ et $E$ tel que $\vec{CE} = \frac{1}{3} \vec{AC}$. 2) Montrer que $(BC) \parallel (DE)$ car $\vec{DE} = \vec{CE} - \vec{CD} = \frac{1}{3} \vec{AC} - (-\vec{AD}) = \frac{1}{3} \vec{AC} + \vec{AD}$, et ce vecteur est proportionnel à $\vec{BC}$. 7. **Exercice 7 : Parallélogramme et alignement** 1) Construire $E, F$ avec $\vec{BE} = 2\vec{AB}$ et $\vec{AF} = 3\vec{AD}$. 2) Construire $G$ tel que $AEGF$ soit un parallélogramme. 3) Montrer que $A, C, G$ sont alignés en exprimant $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AC}$. 8. **Exercice 8 : Identités vectorielles** 1) $\vec{AB} - \vec{CD} - (\vec{AB} - \vec{BA}) = \vec{DA}$ après simplification. 2) $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{BD}$ montre la propriété des diagonales de quadrilatères. 9. **Exercice 9 : Construction et alignement** 1) Construire $E, F$ tels que $\vec{BE} = 2\vec{AC}$ et $\vec{CF} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. 2) Montrer les relations : $\vec{AE} = \vec{AB} + 2\vec{AC}$, $\vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{AC}$. 3) Déduire que $A, E, F$ sont alignés car $\vec{AF}$ est combinaison linéaire de $\vec{AE}$. 10. **Exercice 10 : Points N et P** 1) Placer $N$, $P$ avec $\vec{AN} = -\frac{3}{4} \vec{AB} - \vec{BC}$, $\vec{AP} = -\frac{1}{2} \vec{AB} + 2\vec{AC}$. 2) Transformer $\vec{AP}$ en fonction de $\vec{AB}, \vec{BC}$. 3) Trouver $k$ tel que $\vec{AN} = k \vec{AP}$. 11. **Exercice 11 : Construction de points et parallélogramme** 1) Construire $E, F, G, H$ définis par $\vec{DE} = \frac{4}{3} \vec{DA}$, $\vec{AF} = \frac{5}{4} \vec{AB}$, $\vec{BG} = \frac{4}{3} \vec{BC}$, $\vec{CH} = \frac{5}{4} \vec{CD}$. 2) Montrer que $EFGH$ est un parallélogramme. 12. **Exercice 12 : Alignement selon le paramètre k** Soit $M$ tel que $\vec{AM} = k \vec{AB} + (1-k) \vec{AC}$. Montrer que $B, M, C$ sont alignés pour tout $k$ en exprimant $\vec{BM}$ et $\vec{MC}$ et montrant leur colinéarité. \textbf{Fin des exercices de calcul vectoriel.}