1. Розглянемо умову \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\). Це означає, що вектори \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) колінеарні. 2. Вектори \(\vec{a} = (5; 3; x)\) і \(\vec{b} = (y; 6; 4)\) колінеарні, отже існує число \(k\), таке що: $$ (y, 6, 4) = k(5, 3, x) $$ 3. Запишемо систему: $$ \begin{cases} y = 5k \\ 6 = 3k \\ 4 = xk \end{cases} $$ 4. З другого рівняння знайдемо \(k\): $$ k = \frac{6}{3} = 2 $$ 5. Підставимо \(k=2\) у перше і третє рівняння: $$ y = 5 \cdot 2 = 10 $$ $$ 4 = x \cdot 2 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2 $$ 6. Знайдемо суму: $$ x + y = 2 + 10 = 12 $$ --- 7. Знайдемо об'єм паралелепіпеда, заданого точками \(A(-2; 5; 3), B(8; 7; 3), C(-9; 1; 4), A_1(-5; -1; 5)\). 8. Визначимо вектори: $$ \vec{AB} = B - A = (8 - (-2), 7 - 5, 3 - 3) = (10, 2, 0) $$ $$ \vec{AC} = C - A = (-9 - (-2), 1 - 5, 4 - 3) = (-7, -4, 1) $$ $$ \vec{AA_1} = A_1 - A = (-5 - (-2), -1 - 5, 5 - 3) = (-3, -6, 2) $$ 9. Об'єм паралелепіпеда дорівнює модулю змішаного добутку векторів \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA_1}\): $$ V = |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}| $$ 10. Знайдемо векторний добуток \(\vec{AB} \times \vec{AC}\): $$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 2 & 0 \\ -7 & -4 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot (-4))\mathbf{i} - (10 \cdot 1 - 0 \cdot (-7))\mathbf{j} + (10 \cdot (-4) - 2 \cdot (-7))\mathbf{k} $$ $$ = (2)\mathbf{i} - (10)\mathbf{j} + (-40 + 14)\mathbf{k} = (2, -10, -26) $$ 11. Знайдемо скалярний добуток \((\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}\): $$ (2, -10, -26) \cdot (-3, -6, 2) = 2 \cdot (-3) + (-10) \cdot (-6) + (-26) \cdot 2 = -6 + 60 - 52 = 2 $$ 12. Об'єм паралелепіпеда: $$ V = |2| = 2 $$ Отже, \(x + y = 12\) та об'єм паралелепіпеда дорівнює \(2\).