1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا متجه وحدة \( \vec{ء} \) عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين \( \vec{أ} \) و \( \vec{ب} \). 2. المعطى هو: $$ ( \vec{أ} + 2\vec{ب} ) \times ( 3\vec{ب} - \vec{أ} ) = 5\vec{ح} + 10\vec{ص} + 15\vec{ء} $$ 3. نعلم أن المتجه \( \vec{ء} \) عمودي على المستوى الذي يحوي \( \vec{أ} \) و \( \vec{ب} \)، أي أنه متعامد مع كل من \( \vec{أ} \) و \( \vec{ب} \). 4. نستخدم خاصية الضرب الاتجاهي (cross product): \( ( \vec{أ} + 2\vec{ب} ) \times ( 3\vec{ب} - \vec{أ} ) = \vec{أ} \times 3\vec{ب} - \vec{أ} \times \vec{أ} + 2\vec{ب} \times 3\vec{ب} - 2\vec{ب} \times \vec{أ} \) 5. نعلم أن \( \vec{أ} \times \vec{أ} = \vec{0} \) و \( \vec{ب} \times \vec{ب} = \vec{0} \) لأن الضرب الاتجاهي لمتجه مع نفسه صفر. 6. إذن: $$ = 3(\vec{أ} \times \vec{ب}) - 2(\vec{ب} \times \vec{أ}) $$ 7. ونستخدم خاصية \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) لنحصل على: $$ = 3(\vec{أ} \times \vec{ب}) + 2(\vec{أ} \times \vec{ب}) = 5(\vec{أ} \times \vec{ب}) $$ 8. إذن: $$ 5(\vec{أ} \times \vec{ب}) = 5\vec{ح} + 10\vec{ص} + 15\vec{ء} $$ 9. بقسمة الطرفين على 5: $$ \vec{أ} \times \vec{ب} = \vec{ح} + 2\vec{ص} + 3\vec{ء} $$ 10. بما أن \( \vec{ء} \) عمودي على \( \vec{أ} \) و \( \vec{ب} \)، فهو في اتجاه \( \vec{أ} \times \vec{ب} \) أو عكسه، ويجب أن يكون متجه وحدة. 11. نلاحظ أن المتجه \( (2,1,3) \) هو مكون من المعادلة، لذا نختبر الخيارات المعطاة التي تكون وحدة (طولها 1) ومتجهة في اتجاه \( (2,1,3) \). 12. طول المتجه \( (2,1,3) \) هو: $$ \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $$ 13. إذن المتجه الوحدة في اتجاه \( (2,1,3) \) هو: $$ \left( \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \right) $$ 14. الخيار الصحيح هو (أ) \( \pm \left( \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \right) \). **الجواب النهائي:** $$ \vec{ء} = \pm \left( \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \right) $$