1. \textbf{المشكلة:} في دائرة الوحدة، نريد إثبات أن \sin \theta = y و \cos \theta = x حيث \theta هو الزاوية المرسومة في الدائرة. 2. \textbf{تعريف دائرة الوحدة:} دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 ومركزها عند نقطة الأصل (0,0) في نظام الإحداثيات الديكارتية. 3. \textbf{النقطة على الدائرة:} أي نقطة على دائرة الوحدة يمكن تمثيلها بالإحداثيات (x,y) حيث تحقق المعادلة: $$x^2 + y^2 = 1$$ 4. \textbf{تعريف الجيب وجيب التمام:} في دائرة الوحدة، الزاوية \theta تُقاس من المحور السيني الموجب، والإحداثيات (x,y) للنقطة على الدائرة تمثل: - \cos \theta = x - \sin \theta = y 5. \textbf{البرهان:} لأن نصف قطر الدائرة يساوي 1، فإن طول الضلع المجاور للزاوية \theta في المثلث القائم هو \cos \theta، وطول الضلع المقابل هو \sin \theta. 6. \textbf{باستخدام المثلث القائم:} إذا رسمنا مثلث قائم الزاوية داخل دائرة الوحدة بحيث يكون الوتر هو نصف القطر (طوله 1)، فإن: - الضلع المجاور للزاوية \theta هو x - الضلع المقابل للزاوية \theta هو y 7. \textbf{النتيجة:} إذن، من تعريفات الجيب وجيب التمام في دائرة الوحدة: $$\sin \theta = y$$ $$\cos \theta = x$$ هذا يثبت المطلوب.