1. مسئله: بررسی اینکه آیا نقطه $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ روی نیم‌خط $OP$ در ربع مثبت محور $OX$ قرار دارد یا خیر. 2. فرمول و توضیح: نیم‌خط $OP$ معمولاً به معنای محور $OX$ مثبت است، یعنی نقاطی که $y=0$ و $x>0$ دارند. 3. بررسی نقطه: نقطه داده شده $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ دارای $y=\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$ است، پس روی محور $OX$ نیست. 4. نتیجه: این نقطه روی نیم‌خط $OP$ که محور $OX$ مثبت است، قرار ندارد. 1. مسئله: اگر $\sin \theta = -\frac{5}{12}$ و $\theta$ در ربع چهارم باشد، مقدار $\cos \theta$ را بیابید. 2. فرمول: رابطه مثلثاتی اصلی: $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ 3. محاسبه: $$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 - \frac{25}{144} = \frac{144}{144} - \frac{25}{144} = \frac{119}{144}$$ 4. مقدار $\cos \theta$: چون $\theta$ در ربع چهارم است، $\cos \theta$ مثبت است. $$\cos \theta = +\sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$$ 1. مسئله: مقایسه مقادیر مثلثاتی: (1) $\sin 120^{\circ}$ و $\sin 50^{\circ}$ (2) $\cos 20^{\circ}$ و $\cos 40^{\circ}$ (3) $\sin 30^{\circ}$ و $\cos 40^{\circ}$ 2. محاسبات: - $\sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ - $\sin 50^{\circ} \approx 0.766$ پس $\sin 120^{\circ} > \sin 50^{\circ}$ - $\cos 20^{\circ} \approx 0.940$ - $\cos 40^{\circ} \approx 0.766$ پس $\cos 20^{\circ} > \cos 40^{\circ}$ - $\sin 30^{\circ} = 0.5$ - $\cos 40^{\circ} \approx 0.766$ پس $\sin 30^{\circ} < \cos 40^{\circ}$ 1. مسئله: در مثلث $ABC$ با $BC=5$ و $AB=3$، طول $BH$ را بیابید که $BH$ ارتفاع از $B$ بر $AC$ است. 2. توضیح: چون $BH$ عمود بر $AC$ است، $BH$ ارتفاع مثلث از رأس $B$ است. 3. محاسبه: با توجه به اینکه $AB$ عمود بر $BC$ (چون $AB$ عمودی و $BC$ افقی است)، مثلث قائم‌الزاویه است. 4. طول $BH$ برابر طول $AB$ است چون $BH$ عمود بر $AC$ و $AB$ عمود بر $BC$، پس: $$BH = AB = 3$$ پاسخ نهایی: 1. نقطه داده شده روی نیم‌خط $OP$ نیست. 2. $\cos \theta = \frac{\sqrt{119}}{12}$ 3. (1) $\sin 120^{\circ} > \sin 50^{\circ}$ (2) $\cos 20^{\circ} > \cos 40^{\circ}$ (3) $\sin 30^{\circ} < \cos 40^{\circ}$ 4. $BH = 3$