1. **مشكلة:** لدينا تعبيرات رياضية متعددة تتعلق بدوال مثلثية وعلاقات بينها، ونريد تحديد الظل أو القيمة المرتبطة بكل شكل أو تعبير. 2. **مراجعة القواعد:** - دوال الجيب (جا)، الجتا (جتا)، والظل (ظ) لها علاقات مثل: $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ - دوال الزوايا المتممة أو المجاورة لها ترتبط بقواعد مثل: $$\sin(\pi - x) = \sin(x), \quad \cos(\pi - x) = -\cos(x)$$ - حدود النهاية والتكاملات تتطلب تبسيط وتحليل دقيق. 3. **تحليل المسائل:** - إذا كان \( \sin = \sin + n \) حيث \( n \neq 0 \) و\( \sin - \sin = m \) حيث \( m \neq 0 \)، فهذا يشير إلى أن \( n \) و\( m \) قيم ثابتة غير صفرية. - الظل المرتبط بالتعبير \( \sin + \sin \) يعتمد على القيم المعطاة لـ \( n \) و\( m \) والخيارات المعطاة هي: - \( \frac{1}{n} - d \) - \( \frac{3}{n} - j \) - \( \frac{7}{m} - b \) - \( \frac{7}{m} - a \) 4. **مجال الدالة العكسية:** - الدالة \( d(s) = 3 - 5m \) مع المجال \( \frac{\pi}{6} \geq s \geq \frac{\pi}{12} \) - الخيارات للمجال المظلل: أ) \( \frac{1}{2} \geq s \geq \frac{1}{6} \) ب) \( 2 \geq s \geq 8 \) ج) \( \frac{1}{2} \geq s \geq 3 \) د) \( 2 \geq s \geq 3 \) 5. **منحنى الدالتين \( d(s) \) و\( h(s) \):** - مجموع نهايات الدالتين \( \text{نهـاد}(s) = \text{نهـا هـ}(s) + \text{نهـا د}(s) \) - الظل المرتبط بقيمة 1 هو: أ) 1 ب) 0 ج) 2 د) 4 6. **مثلث قائم الزاوية:** - أ ب = 6 سم، ع ب = 1 سم - محيط المنطقة المظللة = مجموع أطوال الأضلاع - المحيط = \( 6 + 1 + \sqrt{6^2 + 1^2} = 7 + \sqrt{37} \approx 7 + 6.08 = 13.08 \) سم - الخيارات المعطاة للمحيط (لأقرب منزلتين): أ) 3.26 سم ب) 3.52 سم ج) 3.78 سم د) 4.20 سم - المحيط الحقيقي أكبر من الخيارات، لذا قد يكون السؤال عن طول ضلع أو جزء معين. 7. **نهاية دالة عند \( s \to \infty \):** - \( \lim_{s \to \infty} (s - 1 + s^{1+s}) - (s - l) = 0 \) - الظل المرتبط بقيمة \( k - l \) هو: أ) 2 ب) 10 ج) 0 د) -2 8. **دوال ظل وجتا:** - إذا \( \tan(h) < \tan(\pi - h) < \) و\( \cos(h) < \) ... - الظل المرتبط بالربع الذي تقع فيه الزاوية \( h + \pi \) هو: أ) الأول ب) الثاني ج) الثالث د) الرابع 9. **دالة ل مرتبطة بدالة جاما:** - \( l = \gamma(\sin(\frac{s}{r})^{2/2}) + \gamma(\sin(\frac{s}{r})^{2/2}) \) - الخيارات: أ) 2 و \( \frac{1}{2} \) ب) \( \frac{1}{2} \) ج) \( \frac{1}{2} \) د) 1 10. **مطابقة تعبير مثلثي:** - \( (1 - 2 \cos^4(s) \tan^3(s)) \equiv \frac{1 + \cos^4(s)}{\cos^4(s)} \) ؟ - الخيارات: أ) \( \frac{1 + \cos^4(s)}{\cos^4(s)} \) ب) \( \frac{1 + \cos(s)}{\cos^4(s)} \) ج) \( \frac{1 + \tan^4(s)}{\cos^4(s)} \) د) \( \frac{1 - \tan^4(s)}{\cos^4(s)} \) **النتيجة النهائية:** - لكل سؤال، الظل أو القيمة المرتبطة تعتمد على القيم المعطاة والعلاقات الرياضية. - يجب مراجعة كل معطى بدقة واستخدام القوانين المثلثية والنهايات والتكاملات حسب الحاجة.