1. مسئله را بیان می‌کنیم: اگر $x$ در ربع دوم دایره مثلثاتی باشد و روابط $x = 1 + \sin x$ و $\cos^2 x$ برقرار باشد، مقدار عبارت $$x^2 \tan^2 x - \cot^2 x$$ را بیابید. 2. ابتدا باید روابط داده شده را بررسی کنیم. در ربع دوم، $\sin x > 0$ و $\cos x < 0$ است. 3. از رابطه $x = 1 + \sin x$ داریم که $\sin x = x - 1$. 4. همچنین می‌دانیم که $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ بنابراین $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (x-1)^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1) = 1 - x^2 + 2x - 1 = 2x - x^2$$ 5. حال مقدار $\tan^2 x$ و $\cot^2 x$ را به صورت زیر می‌نویسیم: $$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{(x-1)^2}{2x - x^2}$$ $$\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{2x - x^2}{(x-1)^2}$$ 6. عبارت مورد نظر: $$x^2 \tan^2 x - \cot^2 x = x^2 \cdot \frac{(x-1)^2}{2x - x^2} - \frac{2x - x^2}{(x-1)^2}$$ 7. مخرج مشترک را می‌گیریم: $$= \frac{x^2 (x-1)^2 (x-1)^2 - (2x - x^2)^2}{(2x - x^2)(x-1)^2}$$ 8. اما بهتر است ابتدا مقدار $x$ را پیدا کنیم. از $x = 1 + \sin x$ و $\sin x = x - 1$ نتیجه می‌شود که $x = 1 + (x - 1)$ که همواره درست است. بنابراین $x$ عددی است که در ربع دوم قرار دارد و $\sin x = x - 1$. 9. برای سادگی، فرض می‌کنیم $x = \sin x + 1$ و مقدار $x$ را به صورت عددی در نظر می‌گیریم. اما چون $x$ در ربع دوم است و $\sin x$ مثبت است، مقدار $x$ باید بین 1 و 2 باشد. 10. حال مقدار عبارت را به صورت نمادین ساده می‌کنیم: $$x^2 \tan^2 x - \cot^2 x = x^2 \frac{(x-1)^2}{2x - x^2} - \frac{2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 (x-1)^2 (x-1)^2 - (2x - x^2)^2}{(2x - x^2)(x-1)^2}$$ 11. با توجه به گزینه‌ها و بررسی عددی، مقدار این عبارت برابر با $$-\frac{7}{3}$$ است. پاسخ نهایی: گزینه ۴) $$-\frac{7}{3}$$