1. **مسئله اول:** مقدار عبارت $$A = \frac{\sin \frac{7 \pi}{3} - \cos \frac{\Delta \pi}{6}}{\sin \left( \frac{-13 \pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \tan \left( -\frac{4 \pi}{3} \right)}$$ را بیابید. 2. ابتدا باید مقادیر مثلثاتی را ساده کنیم. توجه کنید که زاویه‌ها را می‌توان با افزودن یا کم کردن مضرب‌های $$2\pi$$ به زاویه‌ها به زاویه‌های متناظر در بازه $$[0, 2\pi)$$ تبدیل کرد. 3. محاسبه $$\sin \frac{7 \pi}{3}$$: $$\frac{7 \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$$ بنابراین $$\sin \frac{7 \pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 4. محاسبه $$\cos \frac{\Delta \pi}{6}$$: فرض می‌کنیم $$\Delta = 1$$ (چون مقدار مشخص نشده است، معمولاً منظور همان عدد 1 است) پس: $$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. محاسبه $$\sin \left( \frac{-13 \pi}{3} \right)$$: $$\frac{-13 \pi}{3} = -4\pi + \frac{-\pi}{3} = -4\pi - \frac{\pi}{3}$$ با افزودن $$4\pi$$ (دو دور کامل) داریم: $$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 6. محاسبه $$\tan \left( -\frac{4 \pi}{3} \right)$$: $$-\frac{4 \pi}{3} = -\pi - \frac{\pi}{3}$$ $$\tan(-\pi - \frac{\pi}{3}) = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$$ 7. جایگذاری مقادیر در صورت و مخرج: صورت: $$\sin \frac{7 \pi}{3} - \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$ مخرج: $$\sin \left( \frac{-13 \pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \tan \left( -\frac{4 \pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$$ 8. بنابراین: $$A = \frac{0}{-\sqrt{3}} = 0$$ اما گزینه صفر وجود ندارد، پس احتمالاً مقدار $$\Delta$$ متفاوت است یا سوال به صورت دیگری است. اگر $$\Delta = 0$$ باشد: $$\cos 0 = 1$$ صورت: $$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$ مخرج همان $$-\sqrt{3}$$ است. 9. مقدار عددی: $$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{-\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2 - 1}{-\sqrt{3}}$$ تقسیم را انجام می‌دهیم: $$= \frac{\sqrt{3}}{2 \times -\sqrt{3}} - \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}$$ که عددی مثبت نیست و با گزینه‌ها مطابقت ندارد. 10. بنابراین فرض می‌کنیم $$\Delta = 1$$ و پاسخ صفر است که در گزینه‌ها نیست. احتمالاً سوال به صورت دیگری است یا گزینه‌ها اشتباه است. --- 11. **مسئله دوم:** یک تسمه دو قرقره به شعاع‌های 40 cm و 16 cm را به هم وصل کرده است. اگر قرقره بزرگ‌تر به اندازه $$\frac{2 \pi}{3}$$ رادیان بچرخد، قرقره کوچک‌تر چند درجه می‌چرخد؟ 12. قانون: طول مسیر تسمه روی هر قرقره برابر است با $$\text{زاویه چرخش} \times \text{شعاع}$$. 13. طول مسیر روی قرقره بزرگ: $$L = 40 \times \frac{2 \pi}{3} = \frac{80 \pi}{3}$$ 14. زاویه چرخش قرقره کوچک را $$\theta$$ رادیان فرض می‌کنیم. طول مسیر روی قرقره کوچک: $$L = 16 \times \theta$$ 15. چون تسمه کشیده است، طول مسیرها برابرند: $$16 \theta = \frac{80 \pi}{3}$$ 16. حل برای $$\theta$$: $$\theta = \frac{80 \pi}{3 \times 16} = \frac{80 \pi}{48} = \frac{5 \pi}{3}$$ 17. تبدیل رادیان به درجه: $$\theta_{deg} = \frac{5 \pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 5 \times 60 = 300^{\circ}$$ 18. پاسخ: گزینه 1) 300° **نتیجه نهایی:** - مسئله اول: مقدار $$A = 0$$ (با فرض $$\Delta=1$$) - مسئله دوم: قرقره کوچک‌تر $$300^{\circ}$$ می‌چرخد.