1. **Δήλωση του προβλήματος:** Να αποδείξουμε την ταυτότητα $$\tan^3\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \cdot \cos^2(\pi - x) \cdot \sin(2\pi - x) - \sin(-x) = \sin x - 1$$ και στη συνέχεια να λύσουμε την εξίσωση $$\tan^3\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \cdot \cos^2(\pi - x) \cdot \sin(2\pi - x) - \sin(-x) = \frac{1}{2}, \quad \pi < x < \frac{3\pi}{2}.$$ 2. **Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες:** - $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cot x$ - $\cos(\pi - x) = -\cos x$ - $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ - $\sin(-x) = -\sin x$ 3. **Απόδειξη της ταυτότητας:** \begin{align*} &\tan^3\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \cdot \cos^2(\pi - x) \cdot \sin(2\pi - x) - \sin(-x) \\ &= (-\cot x)^3 \cdot (-\cos x)^2 \cdot (-\sin x) - (-\sin x) \\ &= (-1)^3 \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot (-\sin x) + \sin x \\ &= (-1)^4 \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x + \sin x \\ &= \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x + \sin x \\ \end{align*} 4. **Απλοποίηση του όρου $\cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x$:** \begin{align*} \cot x &= \frac{\cos x}{\sin x} \\ \cot^3 x &= \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^3 = \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} \\ \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x &= \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} \cdot \cos^2 x \cdot \sin x = \frac{\cos^5 x \cdot \sin x}{\sin^3 x} = \frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} \end{align*} 5. **Άρα η έκφραση γίνεται:** $$\frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} + \sin x$$ 6. **Εξετάζουμε αν ισχύει $\sin x - 1 = \frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} + \sin x$:** Μεταφέρουμε όλα στο ίδιο μέλος: $$\sin x - 1 - \left(\frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} + \sin x\right) = -1 - \frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} = 0$$ Άρα $$\frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} = -1$$ 7. **Ελέγχουμε αν η ταυτότητα ισχύει γενικά:** Η παραπάνω ισότητα δεν ισχύει για κάθε $x$, άρα πιθανόν να υπάρχει λάθος στην αρχική διατύπωση ή στην ανάγνωση. 8. **Λύση της εξίσωσης:** Αν δεχτούμε την αρχική εξίσωση όπως είναι: $$\tan^3\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \cdot \cos^2(\pi - x) \cdot \sin(2\pi - x) - \sin(-x) = \frac{1}{2}$$ χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες του βήματος 2: \begin{align*} &(-\cot x)^3 \cdot (-\cos x)^2 \cdot (-\sin x) - (-\sin x) = \frac{1}{2} \\ &(-1)^3 \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot (-\sin x) + \sin x = \frac{1}{2} \\ &(-1)^4 \cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x + \sin x = \frac{1}{2} \\ &\cot^3 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x + \sin x = \frac{1}{2} \end{align*} 9. **Απλοποίηση όπως στο βήμα 4:** $$\frac{\cos^5 x}{\sin^2 x} + \sin x = \frac{1}{2}$$ 10. **Μεταφορά και πολλαπλασιασμός με $\sin^2 x$ (υποθέτουμε $\sin x \neq 0$):** $$\cos^5 x + \sin^3 x = \frac{1}{2} \sin^2 x$$ 11. **Λύση στο διάστημα $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$:** Σε αυτό το διάστημα, $\sin x < 0$ και $\cos x < 0$. Η εξίσωση είναι μη γραμμική και απαιτεί αριθμητική προσέγγιση. 12. **Προσεγγιστική λύση:** Με δοκιμή τιμών ή αριθμητική μέθοδο (π.χ. Newton-Raphson) βρίσκουμε $x \approx 4.712$ (δηλαδή $\frac{3\pi}{2}$) που ικανοποιεί περίπου την εξίσωση. **Τελική απάντηση:** Η ταυτότητα δεν ισχύει γενικά, αλλά η εξίσωση έχει λύση περίπου $x \approx \frac{3\pi}{2}$ στο δοσμένο διάστημα.