1. مسئله: مثلثی با زاویه $\theta$ که کمتر از 90 درجه است داده شده است. طول ضلع مقابل به زاویه $\theta$ برابر 3 است و مقدار $\cos \theta$ برابر 1/25 است. هدف یافتن مساحت مثلث است. 2. فرمول مساحت مثلث با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آن‌ها: $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin \theta$$ 3. در این مسئله، ضلع‌های مثلث به صورت $AB=2$ و $AC=5$ داده شده‌اند و زاویه $\theta$ بین این دو ضلع است. 4. مقدار $\cos \theta = \frac{1}{25}$ داده شده است. برای یافتن $\sin \theta$ از رابطه مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم: $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ 5. جایگذاری مقدار $\cos \theta$: $$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{25}\right)^2 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$$ 6. بنابراین: $$\sin \theta = \sqrt{\frac{624}{625}} = \frac{\sqrt{624}}{25}$$ 7. حال مساحت مثلث را محاسبه می‌کنیم: $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 \times \frac{\sqrt{624}}{25} = 5 \times \frac{\sqrt{624}}{25} = \frac{5 \sqrt{624}}{25} = \frac{\sqrt{624}}{5}$$ 8. ساده‌سازی رادیکال: $$\sqrt{624} = \sqrt{16 \times 39} = 4 \sqrt{39}$$ 9. پس مساحت نهایی: $$\text{مساحت} = \frac{4 \sqrt{39}}{5}$$ پاسخ نهایی: مساحت مثلث برابر است با $$\frac{4 \sqrt{39}}{5}$$.