1. Δίνεται ότι $\tan \theta = \frac{4}{3}$ και $180^\circ < \theta < 270^\circ$. Θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης: $$A = \frac{4\cos \phi \theta - 5\sin \theta}{3\tan \theta}$$ 2. Αρχικά, επειδή $180^\circ < \theta < 270^\circ$, η γωνία βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο, όπου $\sin \theta < 0$ και $\cos \theta < 0$. 3. Από το $\tan \theta = \frac{4}{3}$, μπορούμε να θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με απέναντι πλευρά 4 και προσκείμενη 3, αλλά επειδή βρισκόμαστε στο τρίτο τεταρτημόριο, έχουμε: $$\sin \theta = -\frac{4}{5}, \quad \cos \theta = -\frac{3}{5}$$ (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$). 4. Δεν δίνεται τιμή για $\phi$, οπότε υποθέτουμε ότι $\phi$ είναι σταθερό ή ότι $\phi \theta$ σημαίνει $\phi \cdot \theta$. Αν $\phi$ είναι σταθερό, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά χωρίς την τιμή του. Αν $\phi$ είναι γωνία, χρειάζεται διευκρίνιση. 5. Αν θεωρήσουμε ότι $\phi \theta$ σημαίνει $\phi \cdot \theta$ και $\phi$ είναι σταθερό, τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά χωρίς την τιμή του $\phi$. 6. Αν υποθέσουμε ότι $\phi = 1$ (για παράδειγμα), τότε: $$4\cos \phi \theta = 4 \cos \theta = 4 \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{5}$$ $$5\sin \theta = 5 \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -4$$ 7. Άρα ο αριθμητής: $$4\cos \phi \theta - 5\sin \theta = -\frac{12}{5} - (-4) = -\frac{12}{5} + 4 = -\frac{12}{5} + \frac{20}{5} = \frac{8}{5}$$ 8. Ο παρονομαστής: $$3 \tan \theta = 3 \times \frac{4}{3} = 4$$ 9. Τελικά: $$A = \frac{\frac{8}{5}}{4} = \frac{8}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4$$ 10. Συμπέρασμα: Η αριθμητική τιμή της παράστασης $A$ είναι $0.4$, υπό την υπόθεση ότι $\phi = 1$ ή ότι $\cos \phi \theta = \cos \theta$. Εάν το $\phi$ έχει άλλη σημασία, παρακαλώ διευκρινίστε.