1. مسئله: اگر $0 < \alpha < 45$ باشد، مقدار عبارت $$\frac{\tan \alpha -1}{\cot \alpha -1}$$ را بیابید. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ - هدف ساده‌سازی عبارت داده شده است. 3. گام به گام حل: \begin{align*} \frac{\tan \alpha -1}{\cot \alpha -1} &= \frac{\tan \alpha -1}{\frac{1}{\tan \alpha} -1} \\ &= \frac{\tan \alpha -1}{\frac{1 - \tan \alpha}{\tan \alpha}} \\ &= (\tan \alpha -1) \times \frac{\tan \alpha}{1 - \tan \alpha} \\ &= \frac{(\tan \alpha -1) \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} \end{align*} 4. توجه کنید که $1 - \tan \alpha = -(\tan \alpha -1)$، پس: \begin{align*} \frac{(\tan \alpha -1) \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} &= \frac{(\tan \alpha -1) \tan \alpha}{-(\tan \alpha -1)} \\ &= -\tan \alpha \end{align*} 5. بنابراین، مقدار عبارت برابر است با $-\tan \alpha$. پاسخ صحیح گزینه 2 است.