1. مسئله: مقدار $\tan \alpha$ را پیدا کنید اگر $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ و زاویه $\alpha$ در ناحیه چهارم قرار دارد. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - رابطه مثلثاتی اصلی: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ - تانژانت به صورت نسبت سینوس به کسینوس است: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ - در ناحیه چهارم، $\cos \alpha$ مثبت و $\sin \alpha$ منفی است. 3. محاسبه سینوس: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$ پس: $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ (منفی چون در ناحیه چهارم هستیم) 4. محاسبه تانژانت: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$$ 5. بررسی گزینه‌ها: گزینه‌ها شامل $\pm 2\sqrt{3}$ و $\pm \frac{1}{3\sqrt{3}}$ هستند، اما مقدار ما $-2\sqrt{2}$ است که در گزینه‌ها نیست. احتمال اشتباه در گزینه‌ها یا داده‌ها وجود دارد، اما طبق محاسبات درست، پاسخ $\boxed{-2\sqrt{2}}$ است. اگر بخواهیم نزدیک‌ترین گزینه را انتخاب کنیم، گزینه 2 یعنی $-2\sqrt{3}$ نزدیک‌ترین است اما دقیق نیست.