1. مسئله: مساحت مثلث ABH برابر با $$\frac{1}{4} \sin \alpha$$ است و باید مقدار $$\tan \alpha$$ را پیدا کنیم. 2. فرمول مساحت مثلث با قاعده و ارتفاع: $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$$. 3. در مثلث ABH، قاعده را $$BH$$ و ارتفاع را $$AH$$ در نظر می‌گیریم. چون $$H$$ عمود از $$A$$ به $$OB$$ است، $$AH$$ ارتفاع است. 4. در دایره مثلثاتی، $$OA = 1$$ (شعاع دایره واحد است). زاویه $$\alpha$$ بین $$OH$$ و $$OA$$ است. 5. با توجه به تعریف مثلث قائم الزاویه، $$AH = OA \sin \alpha = 1 \times \sin \alpha = \sin \alpha$$. 6. همچنین $$BH = OB - OH = 1 - \cos \alpha$$ چون $$OB = 1$$ و $$OH = \cos \alpha$$. 7. مساحت مثلث ABH برابر است با: $$ \frac{1}{2} \times BH \times AH = \frac{1}{2} \times (1 - \cos \alpha) \times \sin \alpha $$ 8. طبق داده مسئله: $$ \frac{1}{2} (1 - \cos \alpha) \sin \alpha = \frac{1}{4} \sin \alpha $$ 9. اگر $$\sin \alpha \neq 0$$ باشد، دو طرف را بر $$\sin \alpha$$ تقسیم می‌کنیم: $$ \frac{1}{2} (1 - \cos \alpha) = \frac{1}{4} $$ 10. حل معادله: $$ 1 - \cos \alpha = \frac{1}{2} \\ \cos \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ 11. مقدار $$\cos \alpha = \frac{1}{2}$$ است. زاویه‌ای که $$\cos \alpha = \frac{1}{2}$$ دارد، $$\alpha = 60^\circ$$ یا $$\frac{\pi}{3}$$ رادیان است. 12. حال مقدار $$\tan \alpha$$ را محاسبه می‌کنیم: $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} $$ 13. پاسخ گزینه 4 یعنی $$\sqrt{3}$$ است.