1. مسئله: مقدار تابع $$y = a \sin \pi \left( \frac{1}{3}x - b \right) + c$$ را برای $$x = \frac{7}{3}$$ پیدا کنیم. 2. ابتدا باید مقادیر $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را از نمودار تشخیص دهیم. از توضیح نمودار: - بیشینه تابع برابر 2 است. - کمینه تابع برابر -6 است. 3. دامنه نوسان سینوس برابر $$a$$ است و میانگین بیشینه و کمینه برابر $$c$$ است: $$a = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{2 - (-6)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$c = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ 4. دوره تابع سینوسی برابر فاصله بین دو قله متوالی است. از نمودار دوره برابر 6 است. 5. دوره تابع سینوسی به صورت $$\frac{2\pi}{B}$$ است که در اینجا: $$B = \pi \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}$$ 6. بنابراین دوره: $$\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 2\pi \times \frac{3}{\pi} = 6$$ 7. حال مقدار تابع را برای $$x = \frac{7}{3}$$ محاسبه می‌کنیم: $$y = 4 \sin \pi \left( \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} - b \right) - 2$$ 8. مقدار $$b$$ را از شکل نمی‌توان دقیق تعیین کرد اما فرض می‌کنیم $$b = 1$$ (با توجه به شیفت نمودار که معمولاً در این نوع سوالات $$b=1$$ است). 9. بنابراین: $$y = 4 \sin \pi \left( \frac{7}{9} - 1 \right) - 2 = 4 \sin \pi \left( -\frac{2}{9} \right) - 2 = 4 \sin \left( -\frac{2\pi}{9} \right) - 2$$ 10. چون $$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$ داریم: $$y = 4 \times (-\sin \frac{2\pi}{9}) - 2 = -4 \sin \frac{2\pi}{9} - 2$$ 11. مقدار $$\sin \frac{2\pi}{9}$$ تقریباً برابر $$0.6428$$ است. 12. پس: $$y \approx -4 \times 0.6428 - 2 = -2.5712 - 2 = -4.5712$$ 13. گزینه‌های داده شده را بررسی می‌کنیم: گزینه 1: $$-2\sqrt{7} - 2 \approx -2 \times 2.6458 - 2 = -5.2916 - 2 = -7.2916$$ گزینه 2: $$2\sqrt{7} - 2 \approx 5.2916 - 2 = 3.2916$$ گزینه 3: $$-4$$ گزینه 4: $$2\sqrt{7} \approx 5.2916$$ 14. مقدار محاسبه شده $$-4.5712$$ نزدیک به $$-4$$ است، بنابراین پاسخ درست گزینه 3 است. پاسخ نهایی: گزینه 3) $$-4$$