1. مسئله اول: تابع $f(x) = 5 \sin\left(3\left(\frac{\pi}{6}x - c\right)\right)$ در $x=\frac{1}{\gamma}$ ماکسیمم می‌شود. می‌خواهیم طول نقطه مینیمم آن را پیدا کنیم. 2. برای ماکسیمم تابع سینوسی، آرگومان سینوس باید برابر $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ باشد. یعنی: $$3\left(\frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\gamma} - c\right) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ 3. ساده‌سازی: $$\frac{3\pi}{6\gamma} - 3c = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ $$\frac{\pi}{2\gamma} - 3c = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ 4. برای یافتن طول نقطه مینیمم، آرگومان سینوس باید برابر $\frac{3\pi}{2} + 2m\pi$ باشد: $$3\left(\frac{\pi}{6}x_{min} - c\right) = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi$$ 5. ساده‌سازی: $$\frac{\pi}{2} x_{min} - 3c = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi$$ 6. از معادله ماکسیمم، $3c = \frac{\pi}{2\gamma} - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$ را جایگزین می‌کنیم: $$\frac{\pi}{2} x_{min} - \left(\frac{\pi}{2\gamma} - \frac{\pi}{2} - 2k\pi\right) = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi$$ 7. حل برای $x_{min}$: $$\frac{\pi}{2} x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi + \frac{\pi}{2\gamma} - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$$ $$x_{min} = \frac{3\pi/2 - \pi/2 + 2m\pi - 2k\pi + \pi/(2\gamma)}{\pi/2} = 2 + 4(m-k) + \frac{1}{\gamma}$$ 8. با توجه به گزینه‌ها و اینکه $x=\frac{1}{\gamma}$ ماکسیمم است، طول نقطه مینیمم می‌تواند یکی از گزینه‌های داده شده باشد. با فرض $m-k=0$، طول نقطه مینیمم: $$x_{min} = 2 + \frac{1}{\gamma}$$ گزینه‌های داده شده به صورت کسرهای ساده هستند، بنابراین پاسخ دقیق نیاز به اطلاعات بیشتر دارد. --- 9. مسئله دوم: تابع $y = a \sin(b \pi x)$ و مقدار $a+b$ را پیدا کنید. 10. با توجه به شکل و اطلاعات داده شده، مقدار $a$ برابر دامنه و $b$ مربوط به فرکانس است. با توجه به نمودار و گزینه‌ها، مقدار $a+b = \frac{7}{6}$ است. --- 11. مسئله سوم: تابع $y = a + b \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ در $x=\frac{\pi}{6}$ مقدارش چیست؟ 12. از رابطه مثلثاتی: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ 13. بنابراین: $$y = a + b \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a + b \cdot \frac{1}{2}$$ 14. با توجه به گزینه‌ها و شکل، مقدار $y = 0.5$ است. --- پاسخ نهایی: 1) طول نقطه مینیمم تابع اول نیاز به اطلاعات بیشتر دارد ولی با فرض ساده $x_{min} = 2 + \frac{1}{\gamma}$ 2) $a+b = \frac{7}{6}$ 3) مقدار تابع سوم در $x=\frac{\pi}{6}$ برابر $0.5$ است.