1. مسئله اول: مقدار عبارت $$A=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{v}\right)}{\sin\left(\frac{4\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{6\pi}{v}\right)}$$ را بیابید. 2. برای جمع سینوس‌ها از فرمول جمع استفاده می‌کنیم: $$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$ 3. صورت را به صورت دو جمع جداگانه بازنویسی می‌کنیم: $$\sin\left(\frac{\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{v}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right)$$ ابتدا $$\sin\left(\frac{\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{v}\right) = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{v}\right) = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) \cos\left(\frac{\pi}{v}\right)$$ 4. پس صورت برابر است با: $$2 \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) \left(2 \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + 1\right)$$ 5. مخرج را به همین صورت تجزیه می‌کنیم: $$\sin\left(\frac{4\pi}{v}\right)+\sin\left(\frac{6\pi}{v}\right) = 2 \sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{v}\right) = 2 \sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) \cos\left(\frac{\pi}{v}\right)$$ 6. پس مخرج برابر است با: $$2 \sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) \left(2 \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + 1\right)$$ 7. بنابراین عبارت $$A$$ به صورت زیر ساده می‌شود: $$A = \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{v}\right) \left(2 \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + 1\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{v}\right) \left(2 \cos\left(\frac{\pi}{v}\right) + 1\right)} = \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{v}\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{v}\right)}$$ 8. حال با توجه به مقادیر سینوس، مقدار $$A$$ را بررسی می‌کنیم. با توجه به گزینه‌ها و مقادیر ممکن، مقدار $$A = \frac{1}{2}$$ است. 9. مسئله دوم: مقدار عبارت $$\frac{3 + 4\cos\alpha}{5 - 2\cos\alpha}$$ برابر کدام گزینه نیست؟ 10. دامنه مقدار $$\cos\alpha$$ بین $$-1$$ و $$1$$ است. 11. مقدار عبارت را برای $$\cos\alpha = -1$$ و $$\cos\alpha = 1$$ محاسبه می‌کنیم: - برای $$\cos\alpha = 1$$: $$\frac{3 + 4(1)}{5 - 2(1)} = \frac{7}{3} \approx 2.33$$ - برای $$\cos\alpha = -1$$: $$\frac{3 + 4(-1)}{5 - 2(-1)} = \frac{3 - 4}{5 + 2} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$$ 12. مقدار عبارت در بازه $$\left[-\frac{1}{7}, \frac{7}{3}\right]$$ قرار دارد. 13. گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم: - $$-\frac{1}{14}$$ در بازه است. - $$\sqrt{3} \approx 1.732$$ در بازه است. - $$-\frac{3}{17} \approx -0.176$$ در بازه نیست چون کمتر از $$-\frac{1}{7} \approx -0.142$$ است. - $$\frac{11}{5} = 2.2$$ در بازه است. 14. بنابراین مقدار $$-\frac{3}{17}$$ نمی‌تواند مقدار عبارت باشد. پاسخ‌ها: - مسئله اول: گزینه 1) $$\frac{1}{2}$$ - مسئله دوم: گزینه 3) $$-\frac{3}{17}$$