1. مسئله را بیان می‌کنیم: معادله $$\sin^{140^\circ}(a) + \cos^{140^\circ 5}(a) + \sin^{140^\circ 6}(a) = \frac{1}{3702}$$ را در بازه $$a \in \left[ \frac{\pi}{4} , \frac{3\pi}{4} \right]$$ حل کنیم. 2. ابتدا توجه کنیم که توان‌ها به صورت زاویه‌ای نوشته شده‌اند که احتمالاً اشتباه تایپی است و منظور توان‌های عددی هستند. فرض می‌کنیم توان‌ها به صورت عددی هستند: $$\sin^{140}(a) + \cos^{140}(a) + \sin^{140}(6)(a) = \frac{1}{3702}$$. 3. همچنین عبارت $$\sin^{140^\circ 5}(a)$$ و $$\sin^{140^\circ 6}(a)$$ احتمالاً به صورت $$\cos^{5}(a)$$ و $$\sin^{6}(a)$$ یا مشابه آن است. برای حل، فرض می‌کنیم معادله به شکل زیر است: $$\sin^{140}(a) + \cos^{5}(a) + \sin^{6}(a) = \frac{1}{3702}$$ 4. با توجه به بازه $$a \in \left[ \frac{\pi}{4} , \frac{3\pi}{4} \right]$$، مقادیر $$\sin(a)$$ و $$\cos(a)$$ را بررسی می‌کنیم: - در این بازه، $$\sin(a)$$ بین $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ و 1 است. - $$\cos(a)$$ بین 0 و $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ است. 5. توان‌های بزرگ مانند $$\sin^{140}(a)$$ باعث می‌شوند که مقدار به سمت صفر یا یک میل کند. چون $$\sin(a)$$ در بازه داده شده بزرگتر از $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ است، $$\sin^{140}(a)$$ تقریباً صفر نیست. 6. برای حل دقیق، باید مقدار $$a$$ را طوری پیدا کنیم که معادله برقرار باشد. با توجه به مقدار کوچک سمت راست معادله $$\frac{1}{3702} \approx 0.00027$$، احتمالاً $$\sin^{140}(a)$$ و $$\sin^{6}(a)$$ بسیار کوچک هستند و $$\cos^{5}(a)$$ نیز باید بسیار کوچک باشد. 7. در بازه داده شده، $$\cos(a)$$ منفی است و توان فرد $$5$$ باعث می‌شود $$\cos^{5}(a)$$ منفی باشد. پس جمع سه جمله نمی‌تواند مثبت کوچک باشد مگر اینکه جملات دیگر جبران کنند. 8. بنابراین، احتمالاً اشتباهی در نوشتن معادله وجود دارد یا باید معادله را با دقت بیشتری بررسی کنیم. 9. اگر فرض کنیم معادله به صورت $$\sin^{140}(a) + \cos^{140}(a) + \sin^{140}(a) = \frac{1}{3702}$$ باشد، چون $$\sin^{140}(a) + \cos^{140}(a)$$ تقریباً برابر 1 است برای $$a$$ در بازه داده شده، این مقدار نمی‌تواند برابر $$\frac{1}{3702}$$ شود. 10. در نتیجه، بدون اصلاح دقیق معادله یا اطلاعات بیشتر، حل دقیق امکان‌پذیر نیست. پاسخ نهایی: معادله داده شده با توجه به بازه $$a$$ و توان‌های نوشته شده به صورت زاویه‌ای قابل حل نیست مگر اصلاح شود.