1. **Énoncé du problème :** On a l'équation $$\sin x + 2 \cos x = 0$$. 2. **Objectifs :** a) Calculer $$\sin x$$, $$\cos x$$ et $$\cot x$$ pour $$x \in \left]\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$$. b) Montrer que $$\tan x = -2$$. 3. **Formule et règles importantes :** L'équation peut se réécrire comme $$\sin x = -2 \cos x$$. On sait que $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ et $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$. 4. **Calculs :** De $$\sin x = -2 \cos x$$, divisons par $$\cos x$$ (non nul dans l'intervalle donné) : $$\frac{\sin x}{\cos x} = -2 \implies \tan x = -2$$. 5. **Calcul de $$\sin x$$ et $$\cos x$$ :** Utilisons l'identité $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Substituons $$\sin x = -2 \cos x$$ : $$(-2 \cos x)^2 + \cos^2 x = 1$$ $$4 \cos^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$5 \cos^2 x = 1$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{5}$$ $$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$$. 6. **Détermination du signe de $$\cos x$$ et $$\sin x$$ dans l'intervalle $$\left]\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$$ :** Cet intervalle correspond au 4ème quadrant où $$\cos x > 0$$ et $$\sin x < 0$$. Donc : $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ $$\sin x = -2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$$. 7. **Calcul de $$\cot x$$ :** $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{-\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{2}$$. **Réponses finales :** $$\sin x = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cot x = -\frac{1}{2}, \quad \tan x = -2$$.