1. Сформулюємо задачу: спростити вираз $$ (1 + \cot x)^2 + (1 - \cot x)^2 $$.\n\n2. Використаємо формулу квадрата суми та різниці: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ і $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$.\n\n3. Розкриємо дужки: $$ (1 + \cot x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cot x + (\cot x)^2 = 1 + 2\cot x + \cot^2 x $$\n\n$$ (1 - \cot x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \cot x + (\cot x)^2 = 1 - 2\cot x + \cot^2 x $$.\n\n4. Додамо отримані вирази: $$ (1 + \cot x)^2 + (1 - \cot x)^2 = (1 + 2\cot x + \cot^2 x) + (1 - 2\cot x + \cot^2 x) $$\n\n5. Спростимо суму, скоротивши доданки: $$ 1 + 2\cot x + \cot^2 x + 1 - 2\cot x + \cot^2 x = (1+1) + (2\cot x - 2\cot x) + (\cot^2 x + \cot^2 x) = 2 + 0 + 2\cot^2 x = 2 + 2\cot^2 x $$.\n\n6. Винесемо спільний множник 2: $$ 2(1 + \cot^2 x) $$.\n\n7. Використаємо тригонометричну тотожність: $$ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $$.\n\n8. Отже, спрощений вираз: $$ 2 \csc^2 x $$.\n\nВідповідь: $$ 2 \csc^2 x $$.