1. نبدأ ببيان المشكلة: نريد معرفة عدد المرات التي تصل فيها الدالة $$d(x) = \sin(x + 1)$$ إلى قيمتها العظمى في الفترة $$[0, 2\pi]$$. 2. الدالة $$\sin(\theta)$$ تصل إلى قيمتها العظمى 1 عندما يكون $$\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ حيث $$k$$ عدد صحيح. 3. نطبق هذا على الدالة لدينا: $$x + 1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$. 4. نحسب قيم $$x$$ التي تحقق ذلك: $$x = \frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi$$. 5. نريد قيم $$x$$ ضمن الفترة $$[0, 2\pi]$$، إذن: $$0 \leq \frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi \leq 2\pi$$. 6. نحل للحد الأدنى: $$\frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi \geq 0 \Rightarrow 2k\pi \geq 1 - \frac{\pi}{2}$$ 7. نحل للحد الأعلى: $$\frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi \leq 2\pi \Rightarrow 2k\pi \leq 2\pi + 1 - \frac{\pi}{2}$$ 8. نحسب القيم العددية التقريبية: $$1 - \frac{\pi}{2} \approx 1 - 1.5708 = -0.5708$$ $$2\pi + 1 - \frac{\pi}{2} \approx 6.2832 + 1 - 1.5708 = 5.7124$$ 9. إذن: $$2k\pi \geq -0.5708 \Rightarrow k \geq \frac{-0.5708}{2\pi} \approx -0.0908$$ $$2k\pi \leq 5.7124 \Rightarrow k \leq \frac{5.7124}{2\pi} \approx 0.9092$$ 10. بما أن $$k$$ عدد صحيح، القيم الممكنة هي $$k=0$$ فقط. 11. إذن هناك قيمة واحدة لـ $$x$$ في الفترة $$[0, 2\pi]$$ تحقق القيمة العظمى. النتيجة النهائية: الدالة تصل إلى قيمتها العظمى مرة واحدة في الفترة $$[0, 2\pi]$$. **الإجابة الصحيحة: (أ) 1**