1. **Planteamiento del problema:** Resolver la ecuación $$\frac{2 \sin^2 2\theta - 5 \sin 2\theta - 3}{\sin 2\theta - 1} = 0$$. 2. **Interpretación:** La fracción es igual a cero cuando el numerador es cero y el denominador no es cero. 3. **Condición para que la fracción sea cero:** $$2 \sin^2 2\theta - 5 \sin 2\theta - 3 = 0$$ y $$\sin 2\theta - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin 2\theta \neq 1$$. 4. **Sustitución:** Sea $$x = \sin 2\theta$$, entonces la ecuación cuadrática es: $$2x^2 - 5x - 3 = 0$$. 5. **Resolviendo la cuadrática:** Usamos la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ con $$a=2$$, $$b=-5$$, $$c=-3$$. 6. **Cálculo del discriminante:** $$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$. 7. **Raíces:** $$x = \frac{5 \pm 7}{4}$$ - Para $$x_1$$: $$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ - Para $$x_2$$: $$x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 8. **Verificación de dominio:** $$x = \sin 2\theta$$ debe estar en $$[-1,1]$$. - $$x_1 = 3$$ no es válido. - $$x_2 = -\frac{1}{2}$$ es válido. 9. **Condición del denominador:** $$\sin 2\theta \neq 1$$, no afecta a $$x_2$$. 10. **Solución para $$\theta$$:** $$\sin 2\theta = -\frac{1}{2}$$ 11. **Generalización de la solución:** $$2\theta = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{o} \quad 2\theta = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 12. **Valores exactos:** $$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$$ Por lo tanto: $$2\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad \theta = -\frac{\pi}{12} + k\pi$$ $$2\theta = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{7\pi}{12} + k\pi$$ 13. **Respuesta final:** $$\boxed{\theta = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{o} \quad \theta = \frac{7\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}}$$