1. مسئله: اگر \( \sin \alpha = -\frac{1}{5} \) و \( \alpha \) زاویه‌ای در ربع سوم باشد، مقدار \( \sqrt{25 - \cot^2 \alpha} \) را بیابید. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - در ربع سوم، \( \sin \alpha < 0 \) و \( \cos \alpha < 0 \). - رابطه \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \). - از رابطه مثلثاتی \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) برای یافتن \( \cos \alpha \) استفاده می‌کنیم. 3. محاسبات: - ابتدا \( \sin \alpha = -\frac{1}{5} \) داده شده است. - محاسبه \( \cos \alpha \): $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$$ - محاسبه \( \cot \alpha \): $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = 2\sqrt{6}$$ - محاسبه \( \cot^2 \alpha \): $$\cot^2 \alpha = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$$ - محاسبه مقدار نهایی: $$\sqrt{25 - \cot^2 \alpha} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$$ 4. پاسخ نهایی: \( \boxed{1} \)