1. نبدأ بتحديد المشكلة: نريد معرفة عدد نقاط تقاطع منحني الدالة $d(x) = \cos(2x)$ مع محور السينات في الفترة $[0, 2\pi]$. 2. نقاط تقاطع المنحني مع محور السينات تحدث عندما تكون قيمة الدالة صفرًا، أي: $$\cos(2x) = 0$$ 3. نستخدم خاصية أن $\cos(\theta) = 0$ عندما يكون: $$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 4. هنا، $\theta = 2x$، إذن: $$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$ 5. بحل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$ 6. نريد قيم $x$ ضمن الفترة $[0, 2\pi]$، إذن نبحث عن قيم $k$ التي تحقق: $$0 \leq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \leq 2\pi$$ 7. نطرح $\frac{\pi}{4}$ من الطرفين: $$-\frac{\pi}{4} \leq \frac{k\pi}{2} \leq \frac{7\pi}{4}$$ 8. نقسم على $\frac{\pi}{2}$ (موجب، إذن اتجاه المتباينة لا يتغير): $$-\frac{1}{2} \leq k \leq 3.5$$ 9. إذن قيم $k$ الصحيحة الممكنة هي: $$k = 0, 1, 2, 3$$ 10. عدد نقاط التقاطع هو عدد هذه القيم، أي 4 نقاط. النتيجة النهائية: منحني الدالة $d(x) = \cos(2x)$ يقطع محور السينات 4 مرات في الفترة $[0, 2\pi]$.