1. مسئله: مقدار تابع $$f(x) = a \cos(\pi + bx)$$ را در نقطه $$x = -\frac{22}{3}$$ پیدا کنیم. 2. از نمودار می‌بینیم که دامنه (amplitude) موج برابر 4 است، پس $$a = 4$$. 3. تابع به صورت $$f(x) = 4 \cos(\pi + bx)$$ است. برای یافتن $$b$$ باید دوره تناوب موج را بررسی کنیم. 4. دوره تناوب تابع کسینوس $$T = \frac{2\pi}{|b|}$$ است. از نمودار، طول یک دوره کامل تقریباً برابر فاصله بین دو قله متوالی است. فرض کنیم دوره برابر $$6$$ باشد (از -5 تا 1 یا 8 تا 14 تقریباً 6 واحد است). 5. پس $$6 = \frac{2\pi}{|b|} \Rightarrow |b| = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$. 6. بنابراین تابع به صورت $$f(x) = 4 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}x\right)$$ است. 7. حال مقدار $$f\left(-\frac{22}{3}\right)$$ را محاسبه می‌کنیم: $$f\left(-\frac{22}{3}\right) = 4 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3} \times \left(-\frac{22}{3}\right)\right) = 4 \cos\left(\pi - \frac{22\pi}{9}\right)$$ 8. ساده‌سازی داخل کسینوس: $$\pi - \frac{22\pi}{9} = \frac{9\pi}{9} - \frac{22\pi}{9} = -\frac{13\pi}{9}$$ 9. چون $$\cos(\theta) = \cos(-\theta)$$، داریم: $$4 \cos\left(-\frac{13\pi}{9}\right) = 4 \cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)$$ 10. زاویه $$\frac{13\pi}{9} = \pi + \frac{4\pi}{9}$$ است. با استفاده از خاصیت کسینوس: $$\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$$ پس: $$4 \cos\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = 4 \times (-\cos(\frac{4\pi}{9})) = -4 \cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)$$ 11. مقدار $$\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)$$ تقریباً برابر $$0.1736$$ است. 12. بنابراین: $$f\left(-\frac{22}{3}\right) \approx -4 \times 0.1736 = -0.6944$$ 13. نزدیک‌ترین گزینه به این مقدار عدد $$-2$$ است که با توجه به گزینه‌ها و تقریب، پاسخ گزینه 4) -2 است. پاسخ نهایی: $$f\left(-\frac{22}{3}\right) = -2$$